Questão 16: Resolva, usando o método de Gauss, os seguintes sistemas de equações lineares.
lx1+2 x2-3 x4+x5=2 x1+2 x2+x3-3 x4+x5+2 x6=3 x1+2 x2-3 x4+2 x5+x6=4 3 x1+6 x2+x3-9 x4+4 x5+3 x6=9

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de eliminação de Gauss, o sistema
x1+2x2-3x4+x5=2, x1+2x2+x3-3x4+x5+2x6=3, x1+2x2-3x4+2x5+x6=4, 3x1+6x2+x3-9x4+4x5+3x6=9
Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para triangularizar.

Passo 2

Matriz aumentada inicial:
1 &2 &0 &-3 &1 &0 &vert &2 1 &2 &1 &-3 &1 &2 &vert &3 1 &2 &0 &-3 &2 &1 &vert &4 3 &6 &1 &-9 &4 &3 &vert &9
Fazemos
R2 R2-R1, R3 R3-R1, R4 R4-3R1

Passo 3

Após as operações, a matriz fica
1 &2 &0 &-3 &1 &0 &vert &2 0 &0 &1 &0 &0 &2 &vert &1 0 &0 &0 &0 &1 &1 &vert &2 0 &0 &1 &0 &1 &3 &vert &3
Eliminamos o pivô de x3 em R4 por
R4 R4-R2,
o que torna R4 idêntica a R3, sinal de redundância. Mantemos apenas três equações não triviais.

Passo 4

As equações equivalentes são
x1+2x2-3x4+x5=2, x3+2x6=1, x5+x6=2
Há 6 variáveis e 3 equações, então escolhemos variáveis livres
x2=t, x4=u, x6=v, t,u,vinR
Da terceira equação vem
x5=2-v
Da segunda,
x3=1-2v
Na primeira,
x1=2-2x2+3x4-x5 =2-2t+3u-(2-v) =-2t+3u+v

Resposta

x1=-2t+3u+v, x2=t, x3=1-2v, x4=u, x5=2-v, x6=v, t,u,vinR

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