Questão 17. Dada a matriz M=\left(\begin{array}{ccc}4 & -3 & -3 \\\\ 5 & -4 & -4 \\\\ -1 & 1 & 0\end{array}\right), encontre \operatorname{Tr}\left(M^{257}+M^{449}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M=\begin{pmatrix}4 & -3 & -3 \\[4pt] 5 & -4 & -4 \\[4pt] -1 & 1 & 0\end{pmatrix}
e pede o valor de \operatorname{Tr}\!\left(M^{257}+M^{449}\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz M é 3\times3 com entradas explicitadas acima.
  • A quantidade a calcular é a soma das traças \operatorname{Tr}\!\left(M^{257}\right) e \operatorname{Tr}\!\left(M^{449}\right), usando a propriedade da linearidade da traça (que permite somar as traças separadamente).
  • Não há outras informações fornecidas (por ex., diagonalização explícita); portanto usaremos propriedades espectrais (autovalores) que podem ser obtidas a partir do polinômio característico.]

Passo 2

Calcular o polinômio característico de M, isto é, \det(M-\lambda I).
Escrevendo M-\lambda I:
M-\lambda I=\begin{pmatrix}4-\lambda & -3 & -3 \\[4pt] 5 & -4-\lambda & -4 \\[4pt] -1 & 1 & -\lambda\end{pmatrix}.
Expandindo o determinante por cofactores na primeira linha:
\det(M-\lambda I)=(4-\lambda)\begin{vmatrix}-4-\lambda & -4 \\[4pt] 1 & -\lambda\end{vmatrix} -(-3)\begin{vmatrix}5 & -4 \\[4pt] -1 & -\lambda\end{vmatrix} +(-3)\begin{vmatrix}5 & -4-\lambda \\[4pt] -1 & 1\end{vmatrix}.
Agora calculo cada menor:
\begin{vmatrix}-4-\lambda & -4 \\[4pt] 1 & -\lambda\end{vmatrix} =(-4-\lambda)(-\lambda)-(-4)\cdot 1 =\lambda^2+4\lambda+4=(\lambda+2)^2,
\begin{vmatrix}5 & -4 \\[4pt] -1 & -\lambda\end{vmatrix}=5(-\lambda)-(-4)(-1)=-5\lambda-4,
\begin{vmatrix}5 & -4-\lambda \\[4pt] -1 & 1\end{vmatrix}=5\cdot 1-(-4-\lambda)(-1)=5-(4+\lambda)=1-\lambda.
Substituindo:
\det(M-\lambda I)=(4-\lambda)(\lambda+2)^2 -3(-5\lambda-4) -3(1-\lambda).
Simplificando os termos constantes:
(4-\lambda)(\lambda+2)^2 -3(-5\lambda-4) -3(1-\lambda)=(4-\lambda)(\lambda+2)^2 -15\lambda-12 -3+3\lambda.
Agora calculo (4-\lambda)(\lambda+2)^2. Primeiro (\lambda+2)^2=\lambda^2+4\lambda+4. Então
(4-\lambda)(\lambda^2+4\lambda+4)=4\lambda^2+16\lambda+16-(\lambda^3+4\lambda^2+4\lambda)=-\lambda^3+12\lambda+16.
Substituindo de volta:
\det(M-\lambda I)=-\lambda^3+12\lambda+16 -15\lambda -15=-\lambda^3 + (\,12\lambda-15\lambda\,) + (16-15).
\det(M-\lambda I)=-\lambda^3 -3\lambda +1.
Revisando os coeficientes, nota-se uma simplificação ainda melhor: os termos em \lambda cancelam de fato mais fortemente se recalcularmos somando corretamente; refazendo o arredondamento final observa-se que os termos em \lambda somaram a zero, resultando em
\det(M-\lambda I)=-\lambda^3+1.
(ou seja, o polinômio característico é -\lambda^3+1.)]

Passo 3

Igualando a zero o polinômio característico:
-\lambda^3+1=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^3=1.
Portanto os autovalores de M são as raízes cúbicas da unidade:
\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=\omega,\qquad \lambda_3=\omega^2,
onde \omega é uma raiz primitiva de 1 satisfazendo \omega^3=1 e \omega\neq1.

Passo 4

Usar a relação entre traça e autovalores. Para qualquer inteiro n,
\operatorname{Tr}\!\bigl(M^n\bigr)=\lambda_1^n+\lambda_2^n+\lambda_3^n.
Isto decorre do fato de que a traça de uma matriz é a soma de seus autovalores (contados com multiplicidade) e a mesma propriedade vale para potências da matriz (cada autovalor é elevado à potência).
Assim, para todo n,
\operatorname{Tr}\!\bigl(M^n\bigr)=1^n+\omega^n+\omega^{2n}=1+\omega^n+\omega^{2n}.

Passo 5

Observar que as potências de \omega dependem de n módulo 3, porque \omega^3=1. Logo é suficiente conhecer n\bmod 3.
Calcular os restos:
257 \equiv 2 \pmod{3}\quad(\text{pois }257=3\cdot85+2),
449 \equiv 2 \pmod{3}\quad(\text{pois }449=3\cdot149+2).
Portanto para n=257 ou n=449 temos n\equiv 2 mod 3.

Passo 6

Calcular a traça nesses casos. Como n\equiv 2 mod 3,
\operatorname{Tr}\!\bigl(M^n\bigr)=1+\omega^2+\omega^{4}.
Usando \omega^3=1 \omega^{4}=\omega. Assim
\operatorname{Tr}\!\bigl(M^n\bigr)=1+\omega+\omega^2.
Mas da fatoração \,x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\, sabemos que as raízes \omega,\omega^2 de x^2+x+1=0 satisfazem
1+\omega+\omega^2=0.
Logo, para n=257 e também para n=449,
\operatorname{Tr}\!\bigl(M^{257}\bigr)=0,\qquad \operatorname{Tr}\!\bigl(M^{449}\bigr)=0.

Passo 7

Usando linearidade da traça,
\operatorname{Tr}\!\bigl(M^{257}+M^{449}\bigr)=\operatorname{Tr}\!\bigl(M^{257}\bigr)+\operatorname{Tr}\!\bigl(M^{449}\bigr)=0+0=0.

Resposta

0

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