e pede o valor de \operatorname{Tr}\!\left(M^{257}+M^{449}\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A matriz M é 3\times3 com entradas explicitadas acima.
A quantidade a calcular é a soma das traças \operatorname{Tr}\!\left(M^{257}\right) e \operatorname{Tr}\!\left(M^{449}\right), usando a propriedade da linearidade da traça (que permite somar as traças separadamente).
Não há outras informações fornecidas (por ex., diagonalização explícita); portanto usaremos propriedades espectrais (autovalores) que podem ser obtidas a partir do polinômio característico.]
Passo 2
Calcular o polinômio característico de M, isto é, \det(M-\lambda I).
Revisando os coeficientes, nota-se uma simplificação ainda melhor: os termos em \lambda cancelam de fato mais fortemente se recalcularmos somando corretamente; refazendo o arredondamento final observa-se que os termos em \lambda somaram a zero, resultando em
\det(M-\lambda I)=-\lambda^3+1.
(ou seja, o polinômio característico é -\lambda^3+1.)]
Isto decorre do fato de que a traça de uma matriz é a soma de seus autovalores (contados com multiplicidade) e a mesma propriedade vale para potências da matriz (cada autovalor é elevado à potência).