Questão 15. Um satélite de massa m descreve uma órbita circular de raio r em torno da Terra, que consideramos como um referencial inercial. Suponha que, inicialmente, a única força atuando no satélite seja a gravitacional, exercida pela Terra (de massa M ).
(a) Escreva o módulo da velocidade do satélite em relação à Terra em função dos dados acima (e da constante newtoniana da gravitação, G ).
(b) Determine a energia mecânica do satélite.
(c) Num dado instante posterior, o sistema de velas solares do satélite é acionado. Após um certo intervalo de tempo, aquele sistema é desligado, e o satélite passa a descrever uma nova órbita circular, de raio 2 r. Calcule o trabalho total realizado pelas forças de pressão de radiação enquanto o sistema de velas solares esteve ativo.

Passo 1

O enunciado trata de um satélite de massa m em órbita circular de raio r em torno da Terra (massa M), sob ação apenas da força gravitacional.
(a) pede-se a velocidade orbital;
(b) a energia mecânica dessa órbita;
(c) ao ativar as velas solares, o satélite sobe para uma órbita circular de raio 2r: calcular o trabalho das forças de radiação.
Os tópicos envolvidos são movimento circular sob gravitação, energia mecânica e o teorema trabalho–energia.

Passo 2

Para órbita circular, a força centrípeta m\,v^2/r é fornecida pela gravitação G\,M\,m/r^2. Assim,
m\,\frac{v^2}{r} \;=\; G\,\frac{M\,m}{r^2}.
Cancelando m e isolando v, obtém-se
v^2 = \frac{G\,M}{r} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}}.

Passo 3

A energia mecânica é
E = T + U
onde
T = \tfrac12\,m\,v^2 \quad\text{e}\quad U = -\,G\,\frac{M\,m}{r}.
Substituindo v^2 = GM/r:
T = \tfrac12\,m\,\frac{G\,M}{r} = \frac{G\,M\,m}{2r},
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E = \frac{G\,M\,m}{2r} - \frac{G\,M\,m}{r} = -\,\frac{G\,M\,m}{2r}.

Passo 4

Na nova órbita de raio r' = 2r, análogo dá
E' = -\,\frac{G\,M\,m}{2\,r'} = -\,\frac{G\,M\,m}{2\,(2r)} = -\,\frac{G\,M\,m}{4r}.
O trabalho W realizado pelas velas é a variação da energia mecânica:
W = E' - E = \Bigl(-\,\frac{G\,M\,m}{4r}\Bigr) - \Bigl(-\,\frac{G\,M\,m}{2r}\Bigr) = \frac{G\,M\,m}{4r}.

Resposta

(a) v = \sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}
(b) E = -\,\dfrac{G\,M\,m}{2r}
(c) W = \dfrac{G\,M\,m}{4r}

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