Questão 5. Uma esfera homogênea flutua (em repouso) na água contida em um recipiente, com uma parte V_{0} de seu volume submersa. Em um dado instante, é introduzido no recipiente um outro líquido, menos denso que a esfera, e em quantidade mais que suficiente para cobri-la. Após restabelecido o equilíbrio hidrostático, a esfera fica em repouso, totalmente submersa, na interface entre os dois líquidos, com uma parte V de seu volume submersa na água. Nesta situação, podemos afirmar que
(a) V>V_{0}.
(b) V<V_{0}.
(c) V=V_{0}.
(d) os dados fornecidos no enunciado não são suficientes para relacionar V e V_{0}.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera homogênea de volume total V_s e densidade \rho_s que flutua inicialmente em água (densidade \rho_w), com parte submersa V_{0}. Depois é vertido um segundo líquido, de densidade \rho_L tal que \rho_L<\rho_s<\rho_w, em quantidade suficiente para cobrir a esfera. No novo equilíbrio, a esfera fica totalmente submersa, assentada na interface, com volume V submerso na água e o restante (V_s - V) submerso no líquido leve. Precisamos comparar V com V_0 usando o princípio de Arquimedes.

Passo 2

Na condição inicial, o peso da esfera é igual à força de empuxo da água:
\rho_w\,g\,V_{0} \;=\;\rho_s\,g\,V_s
Cancelando g, obtemos
V_{0} \;=\;\frac{\rho_s\,V_s}{\rho_w}.

Passo 3

No equilíbrio final, o empuxo total é a soma do empuxo da água (volume V) e do líquido leve (volume V_s - V):
\rho_w\,g\,V \;+\;\rho_L\,g\,(V_s - V)\;=\;\rho_s\,g\,V_s.
Cancelando g e rearranjando,
\rho_w\,V - \rho_L\,V \;=\;\rho_s\,V_s - \rho_L\,V_s \quad\Longrightarrow\quad V\,(\rho_w - \rho_L) \;=\;V_s\,(\rho_s - \rho_L).
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V \;=\;V_s\,\frac{\rho_s - \rho_L}{\rho_w - \rho_L}.

Passo 4

Comparamos V e V_{0}: queremos saber se
\frac{\rho_s - \rho_L}{\rho_w - \rho_L} \;\gtrless\; \frac{\rho_s}{\rho_w}.
Multiplicando ambos os lados por \rho_w(\rho_w-\rho_L)>0, chega-se a
\rho_w(\rho_s-\rho_L) \;\gtrless\;\rho_s(\rho_w-\rho_L) \quad\Longleftrightarrow\quad -\,\rho_w\rho_L \;\gtrless\;-\,\rho_s\rho_L \quad\Longleftrightarrow\quad \rho_w \;<\;\rho_s,
o que é falso, pois \rho_s<\rho_w. Portanto
V < V_{0}.

Resposta

(b) V<V_{0}.

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