Questão 16. Resolva o sistema lx+2 y+3 z=5 2 x+5 y+3 z=3 x+8 z=17, usando inversão de matrizes.

Passo 1

Nesse exercício, queremos resolver o sistema de três equações lineares usando inversão de matrizes. A ideia é escrever o sistema na forma Avec x=vec b, calcular A^-1 (usando determinante, cofatores e adjunta) e então obter vec x=A^-1vec b.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial. As matrizes envolvidas são:
A=1&2&32&5&31&0&8, vec x=xyz, vec b=5317

Passo 3

Para achar A^-1, primeiro calculamos o determinante de A. Fazendo expansão pela primeira linha:
det(A)=1cdotdet5&30&8 -2cdotdet2&31&8 +3cdotdet2&51&0
Calculando cada menor, obtemos 40-2cdot13+3cdot(-5)=40-26-15=-1. Logo det(A)=-1, diferente de zero, portanto A é invertível.

Passo 4

O próximo passo é construir a matriz de cofatores C, cujo elemento Cij=(-1)^i+jdet(Mij), e em seguida obter a adjunta adj(A)=C^T. Isso dá
adj(A)=40&-16&-9-13&5&3-5&2&1
Então
A^-1=1det(A)adj(A)=-adj(A)=-40&16&913&-5&-35&-2&-1

Passo 5

Finalmente, multiplicamos A^-1 por vec b para obter as incógnitas:
xyz = A^-1,vec b =-40&16&913&-5&-35&-2&-1 5317 =1-12
Logo, os valores de x,y,z são obtidos com essa multiplicação.
Assim chegamos à solução do sistema.

Resposta

(x,y,z) = (1, -1, 2)

Exercícios relacionados