(Questão 157) Uma montadora de automóveis divulgou que oferta a seus clientes mais de 1000 configurações diferentes de carro, variando o modelo, a motorização, os opcionais e a cor do veículo. Atualmente, ela oferece 7 modelos de carros com 2 tipos de motores: 1.0 e 1.6. Já em relação aos opcionais, existem 3 escolhas possíveis: central multimídia, rodas de liga leve e bancos de couro, podendo o cliente optar por incluir um, dois, três ou nenhum dos opcionais disponíveis. Para ser fiel à divulgação feita, a quantidade mínima de cores que a montadora deverá disponibilizar a seus clientes é
a) 8 .
b) 9 .
c) 11 .
d) 18 .
e) 24 .
a) 8 .
b) 9 .
c) 11 .
d) 18 .
e) 24 .
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a quantidade mínima de cores que a montadora deverá disponibilizar para que ela realmente ofereça mais de 1000 configurações diferentes de carro?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Existem
modelos de carro. - Existem
tipos de motor ( e ). - Há
opcionais distintos: central multimídia, rodas de liga leve e bancos de couro. O cliente pode escolher incluir nenhum, um, dois ou os três opcionais. - A quantidade de cores disponíveis é a incógnita (vou chamar de
). - A montadora afirma oferecer "mais de
" configurações, ou seja, a quantidade total de configurações deve ser estritamente maior que .
Passo 2
Entendendo como contar as escolhas de opcionais (explicação didática): cada opcional tem duas possibilidades independentes — ou o cliente o escolhe, ou não. Quando há
opcionais independentes, o número total de combinações possíveis de escolhê-los (incluindo escolher nenhum) é
Aqui
, portanto o número de escolhas de opcionais é
Esse resultado vem do princípio multiplicativo: para o primeiro opcional há
escolhas, para o segundo
, para o terceiro
; multiplicando
.
Passo 3
Para fixar a intuição, listei mentalmente as
combinações de opcionais (isso ajuda na prova): nenhuma; cada um dos três isolados; cada um dos três pares; e os três juntos. Ou seja, são exatamente
possibilidades.
Passo 4
Contando as escolhas restantes: há
escolhas para o modelo e
escolhas para o motor. Essas escolhas são independentes entre si e também independentes das escolhas de opcionais e da cor.
Passo 5
Aplicando o princípio fundamental da contagem (multiplicamos o número de possibilidades de cada decisão independente): o número de configurações por cada cor é
Calculemos:
logo
Portanto, para cada cor disponível existem
configurações distintas (combinando modelo, motor e opcionais).
Passo 6
Seja
o número de cores. O total de configurações oferecidas é
Queremos que isso seja estritamente maior que
, então montamos a desigualdade
Passo 7
Resolva a desigualdade para
:
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por
):
Como
representa um número inteiro de cores, precisamos do menor inteiro estritamente maior que
, isto é, o teto (próximo inteiro acima) desse valor.
Passo 8
Logo o menor valor inteiro possível é
. Conferência rápida:
Portanto
cores é o mínimo necessário para que a montadora realmente ofereça mais de
configurações.
Resposta
b)