(Questão 157) Uma montadora de automóveis divulgou que oferta a seus clientes mais de 1000 configurações diferentes de carro, variando o modelo, a motorização, os opcionais e a cor do veículo. Atualmente, ela oferece 7 modelos de carros com 2 tipos de motores: 1.0 e 1.6. Já em relação aos opcionais, existem 3 escolhas possíveis: central multimídia, rodas de liga leve e bancos de couro, podendo o cliente optar por incluir um, dois, três ou nenhum dos opcionais disponíveis. Para ser fiel à divulgação feita, a quantidade mínima de cores que a montadora deverá disponibilizar a seus clientes é
a) 8 .
b) 9 .
c) 11 .
d) 18 .
e) 24 .

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a quantidade mínima de cores que a montadora deverá disponibilizar para que ela realmente ofereça mais de 1000 configurações diferentes de carro?”\n
Informações dadas:
  • Existem 7 modelos de carro.
  • Existem 2 tipos de motor ( 1{,}0 e 1{,}6).
  • 3 opcionais distintos: central multimídia, rodas de liga leve e bancos de couro. O cliente pode escolher incluir nenhum, um, dois ou os três opcionais.
  • A quantidade de cores disponíveis é a incógnita (vou chamar de c).
  • A montadora afirma oferecer "mais de 1000" configurações, ou seja, a quantidade total de configurações deve ser estritamente maior que 1000.

Passo 2

Entendendo como contar as escolhas de opcionais (explicação didática): cada opcional tem duas possibilidades independentes — ou o cliente o escolhe, ou não. Quando há n opcionais independentes, o número total de combinações possíveis de escolhê-los (incluindo escolher nenhum) é
2^n.
Aqui n=3, portanto o número de escolhas de opcionais é
2^3.
Esse resultado vem do princípio multiplicativo: para o primeiro opcional há 2 escolhas, para o segundo 2, para o terceiro 2; multiplicando 2\cdot2\cdot2=8.

Passo 3

Para fixar a intuição, listei mentalmente as 8 combinações de opcionais (isso ajuda na prova): nenhuma; cada um dos três isolados; cada um dos três pares; e os três juntos. Ou seja, são exatamente 8 possibilidades.

Passo 4

Contando as escolhas restantes: há 7 escolhas para o modelo e 2 escolhas para o motor. Essas escolhas são independentes entre si e também independentes das escolhas de opcionais e da cor.

Passo 5

Aplicando o princípio fundamental da contagem (multiplicamos o número de possibilidades de cada decisão independente): o número de configurações por cada cor é
7 \cdot 2 \cdot 2^3.
Calculemos:
2^3 = 8,
logo
7 \cdot 2 \cdot 8 = 112.
Portanto, para cada cor disponível existem 112 configurações distintas (combinando modelo, motor e opcionais).

Passo 6

Seja c o número de cores. O total de configurações oferecidas é
112 \cdot c.
Queremos que isso seja estritamente maior que 1000, então montamos a desigualdade
112\cdot c > 1000.

Passo 7

Resolva a desigualdade para c:
c > \frac{1000}{112}.
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 8):
\frac{1000}{112}=\frac{125}{14}\approx 8,92857\ldots
Como c representa um número inteiro de cores, precisamos do menor inteiro estritamente maior que 8,92857\ldots, isto é, o teto (próximo inteiro acima) desse valor.

Passo 8

Logo o menor valor inteiro possível é 9. Conferência rápida:
112\cdot 8 = 896 \quad(\text{ainda não passa de }1000),ã
112\cdot 9 = 1008 \quad(\text{já é maior que }1000).áé
Portanto 9 cores é o mínimo necessário para que a montadora realmente ofereça mais de 1000 configurações.

Resposta

b) 9

Exercícios relacionados