Questão 3. (15pts) Quais das séries a seguir convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 4^{n}}{n!}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}4^{n}}{n!}
em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Aqui o conteúdo é teste de convergência de séries numéricas, em particular teste da razão para a série de termos positivos e avaliação da convergência absoluta.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série dos módulos dos termos:
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n}4^{n}}{n!}\right| =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n}}{n!}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão à série \sum 4^{n}/n!. Calculamos
L =\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{4^{n+1}}{(n+1)!}}{\displaystyle\frac{4^{n}}{n!}} =\lim_{n\to\infty}\frac{4^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{4^{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n+1} =0.
Como L<1, a série \sum 4^{n}/n! converge.

Passo 4

A convergência da série de termos positivos \sum 4^{n}/n! significa que a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples, e não há convergência apenas condicional nem divergência.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}4^{n}}{n!}
converge absolutamente.

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