Questão 2. (8pts) Quais das séries a seguir convergem e quais divergem? Encontre a soma de cada série convergente.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{72^{4 n}}{35^{2 n}};

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{72^{4n}}{35^{2n}}
e pede para verificar se ela converge ou diverge. O conteúdo necessário é a análise de séries geométricas: para \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a\,r^n, ela converge se e somente se \lvert r\rvert<1, e nesse caso sua soma é \tfrac{a}{1-r}.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral como potência de uma razão:
\frac{72^{4n}}{35^{2n}} =\Bigl(\frac{72^4}{35^2}\Bigr)^{n}
ou seja, é uma série geométrica com primeiro termo a=1 (quando n=0) e razão
r = \frac{72^4}{35^2}.

Passo 3

Para verificar se converge, basta ver se \lvert r\rvert<1. Note que
72^4 = (72^2)^2 = 5184^2, \quad 35^2 = 1225,
e portanto
r = \frac{5184^2}{1225} =\Bigl(\frac{5184}{35}\Bigr)^2.
Como \frac{5184}{35}>1, temos \lvert r\rvert>1.

Passo 4

Como \lvert r\rvert>1, a série geométrica \displaystyle \sum_{n=0}^\infty r^n diverge. Logo a série dada também diverge, e não há soma finita.

Resposta

A série diverge.

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