QUESTÃO 16: Um aluno de engenharia estava estudando termodinâmica e para entender o processo de troca de calor entre corpos montou um experimento usando os seguintes materiais:
  • calorímetro não ideal (caixa de isopor preenchida com 1,50 I de água);
  • uma peça de metal de 57,4 \mathrm{~g};
  • um béquer perfeitamente graduado;
  • água;
  • termômetro de mercúrio perfeitamente graduado e precisão 0,1^{\circ} \mathrm{C}.
Dados: calor específico da água 1 \mathrm{cal} /\left(g^{\circ} \mathrm{C}\right).

PARTE 1:

Para determinar a capacidade térmica do calorímetro, o aluno aqueceu uma amostra de 500 g de água até 92,4^{\circ} \mathrm{C} e misturou no calorímetro que estava a 25,2^{\circ} \mathrm{C} (temperatura ambiente). Ao colocar os 500 g de água no béquer, à temperatura ambiente, o aluno verificou que o volume era exatamente 500 ml . Após aquecida a amostra de água, o aluno percebeu que a leitura de volume de água no béquer era 517 ml e a temperatura de equilíbrio do sistema foi 42,2^{\circ} \mathrm{C}.

PARTE 2:

Para determinar o calor específico da peça de metal, aqueceu a peça em banho térmico de 95,1^{\circ} \mathrm{C} e colocou no calorímetro que estava a 25,8^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura de equilíbrio do sistema foi medida encontrando o valor de 26,9^{\circ} \mathrm{C}.
a) A partir das informações dadas no problema, calcule o coeficiente de dilatação térmica da água.
b) Calcule a capacidade térmica do calorímetro.
c) Considerando que o calorímetro fosse ideal, estime o erro percentual na medida da capacidade térmica do calorímetro.
d) Calcule o calor específico da peça de metal.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas (as perguntas):
a) calcular o coeficiente de dilatação térmica da água;
b) calcular a capacidade térmica do calorímetro;
c) estimar o erro percentual na medida da capacidade térmica do calorímetro caso ele fosse ideal;
d) calcular o calor específico da peça de metal.
Dados relevantes fornecidos (vou listar tudo que é útil, com as unidades e valores exatamente como no enunciado):
  • calor específico da água c_{\text{água}} = 1\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}á.
  • amostra de água: massa inicial (à temperatura ambiente) m_{\text{a}}=500\\ \mathrm{g} e volume correspondente à temperatura ambiente V_{0}=500\\ \mathrm{ml}.
  • depois de aquecida: temperatura da amostra T_{\text{a}}=92{,}4^\circ\mathrm{C} e leitura de volume no béquer V(T_{\text{a}})=517\\ \mathrm{ml}.
  • calorímetro (caixa de isopor) preenchido com 1{,}50\\ \mathrm{L} de água → massa de água no calorímetro m_{\text{cal,água}}=1{,}50\\ \mathrm{L}\times1000\\ \mathrm{g/L}=1500\\ \mathrm{g}á.
  • temperatura ambiente (estado inicial do calorímetro na Parte 1): T_{\text{cal,i}}=25{,}2^\circ\mathrm{C}.
  • temperatura de equilíbrio observada na Parte 1: T_{f1}=42{,}2^\circ\mathrm{C}.
  • Parte 2 (para a peça de metal): massa da peça m_{\text{m}}=57{,}4\\ \mathrm{g}, peça aquecida a T_{\text{m}}=95{,}1^\circ\mathrm{C}. Antes do ensaio a temperatura do calorímetro era T_{\text{cal,i2}}=25{,}8^\circ\mathrm{C} e a temperatura de equilíbrio medida foi T_{f2}=26{,}9^\circ\mathrm{C}.
Observação importante sobre os volumes: o enunciado nos dá explicitamente que o volume da amostra a 25{,}2^\circ\mathrm{C} era 500\\ \mathrm{ml} e que, após aquecer essa mesma amostra a 92{,}4^\circ\mathrm{C}, a leitura do volume nessa temperatura passou para 517\\ \mathrm{ml}. Esses dois números são a base para calcular a dilatação volumétrica. Não há outras figuras ou tabelas.

Passo 2

Entendendo o conceito que vamos usar para a parte (a): dilatação volumétrica.
Quando um líquido aquece, seu volume varia aproximadamente de forma linear com a temperatura (para pequenas faixas), e a relação é dada por
\frac{\Delta V}{V_0}=\beta\,\Delta T.
Aqui:
  • \Delta V é a variação de volume (volume final menos volume inicial);
  • V_0 é o volume na temperatura inicial;
  • \beta é o coeficiente de dilatação volumétrica (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1});
  • \Delta T é a diferença de temperatura (temperatura final menos temperatura inicial).
No nosso caso:
  • V_0=500\\ \mathrm{ml} (volume à temperatura ambiente 25{,}2^\circ\mathrm{C}),
  • V(T_{\text{a}})=517\\ \mathrm{ml} (volume à 92{,}4^\circ\mathrm{C}),
  • \Delta V=517-500=17\\ \mathrm{ml},
  • \Delta T=92{,}4-25{,}2=67{,}2^\circ\mathrm{C}.
Agora aplicamos a fórmula isolando \beta:
\beta=\frac{\Delta V}{V_0\,\Delta T}.
Substituindo números (faço as contas passo a passo):
\beta=\frac{17}{500\cdot 67{,}2}=\frac{17}{33600}=0{,}000505952\ldots
Arredondando com três algarismos significativos:
\beta\approx 5{,}06\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 3

Agora vamos calcular a capacidade térmica do calorímetro (parte b). Antes de aplicar conservação de energia, preciso explicar qual é o significado físico de “capacidade térmica do calorímetro” que vou usar: é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura do conjunto calorímetro (caixa + água que ele contém) em 1^\circ\mathrm{C}. Em calorimetria costuma-se chamar C_{\text{cal}} à capacidade térmica do próprio calorímetro (estrutura), e a capacidade térmica total do sistema calorímetro+água é C_{\text{total}}=m_{\text{cal,água}}\,c_{\text{água}}+C_{\text{cal}}áá. Às vezes o enunciado pede só C_{\text{cal}} (somente o corpo do calorímetro), mas aqui a prática experimental nos dá direto um cálculo do C_{\text{total}} a partir do balanço térmico entre a amostra quente e o conjunto calorímetro+água. Vou proceder calculando primeiro o C_{\text{total}} tal como o experimento determina; depois dá para isolar C_{\text{cal}} se necessário.
Equilíbrio de energia (sem perdas ao ambiente, hipótese usual): o calor perdido pela amostra quente é igual ao calor absorvido pelo calorímetro+água:
m_{\text{a}}\,c\,(T_{\text{a}}-T_{f1}) = C_{\text{total}}\,(T_{f1}-T_{\text{cal,i}}).
Aqui:
  • m_{\text{a}} é a massa da amostra quente (na prática, a leitura do béquer a quente foi 517\\ \mathrm{ml} — se o estudante usou a graduação do béquer para avaliar a massa na temperatura de enchimento, o valor lido foi 517\\ \mathrm{ml} e a massa aparente seria 517\\ \mathrm{g} na escala do béquer; por isso vou explicar e usar esse valor experimental como massa efetiva usada no cálculo de capacidade total).
  • c é 1\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}.
  • T_{\text{a}}=92{,}4^\circ\mathrm{C}, T_{f1}=42{,}2^\circ\mathrm{C}, T_{\text{cal,i}}=25{,}2^\circ\mathrm{C}.
Vou justificar brevemente: o enunciado destaca a leitura de 517\\ \mathrm{ml} após aquecer — isso é um dado experimental que o aluno teria usado se medisse massa a partir da graduação do béquer a quente. Para determinar a capacidade do calorímetro a partir do experimento é natural usar as quantidades tal como foram lidas no experimento, ou seja tomar m_{\text{a,apparent}}=517\\ \mathrm{g}. (Se usássemos exatamente 500\\ \mathrm{g} e não considerássemos a leitura 517 ml, o balanço levaria a inconsistências experimentais, por isso vamos adotar o procedimento experimental coerente: usar a massa indicada pelo volume lido no béquer aquecido.)
Então calculamos C_{\text{total}} isolando:
C_{\text{total}}=\frac{m_{\text{a,apparent}}\,c\,(T_{\text{a}}-T_{f1})}{T_{f1}-T_{\text{cal,i}}}.
Substituindo números (faço as contas com cuidado):
m_{\text{a,apparent}}=517\\ \mathrm{g},\quad T_{\text{a}}-T_{f1}=92{,}4-42{,}2=50{,}2^\circ\mathrm{C},
T_{f1}-T_{\text{cal,i}}=42{,}2-25{,}2=17{,}0^\circ\mathrm{C},\quad c=1\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}.
Logo
C_{\text{total}}=\frac{517\cdot 1\cdot 50{,}2}{17{,}0}=\frac{25953{,}4}{17{,}0}=1526{,}141176\ldots\\ \mathrm{cal/^\circ C}.
Arredondando razoavelmente:
C_{\text{total}}\approx 1526{,}1\\ \mathrm{cal/^\circ C}.
Se quisermos extrair só a capacidade do corpo do calorímetro C_{\text{cal}} (ou seja, subtrair a capacidade da água que está dentro), fazemos
C_{\text{cal}}=C_{\text{total}}-m_{\text{cal,água}}\,c=1526{,}141\dots - 1500 = 26{,}141176\ldots\\ \mathrm{cal/^\circ C}.á
Portanto a capacidade térmica do corpo do calorímetro (a caixa/isopor) é
C_{\text{cal}}\approx 26{,}14\\ \mathrm{cal/^\circ C}.
Comentário de interpretação (para você na prova): o valor principal que o experimento determina é C_{\text{total}}. Subtrair 1500\\ \mathrm{cal/^\circ C} (capacidade da água) dá a capacidade do recipiente. Foi essencial usar a leitura 517\\ \mathrm{ml} porque esse foi o valor medido pelo aluno na prática.

Passo 4

Agora a parte (c): estimar o erro percentual na medida da capacidade térmica do calorímetro caso ele fosse ideal.
Para interpretar a pergunta: “considerando que o calorímetro fosse ideal, estime o erro percentual na medida da capacidade térmica do calorímetro” — a leitura natural é: suponha que o calorímetro (o corpo) fosse ideal (ou seja, com capacidade do corpo nula) e que, portanto, toda a capacidade térmica do sistema fosse só a água dentro ( 1500\\ \mathrm{cal/^\circ C} ). O experimento, porém, nos deu C_{\text{total}}=1526{,}1\\ \mathrm{cal/^\circ C}, que é maior do que 1500. O erro percentual ao confundir o C_{\text{total}} medido com a capacidade que se teria se o calorímetro fosse ideal (apenas água) é
\text{erro \%}=\frac{C_{\text{total}}-m_{\text{cal,água}}\,c}{m_{\text{cal,água}}\,c}\times100\%.áá
Substituindo:
\text{erro \%}=\frac{1526{,}141176-1500}{1500}\times100\%=\frac{26{,}141176}{1500}\times100\%\approx1{,}7427\%.
Arredondando:
\text{erro \%}\approx 1{,}74\%.
Interpretação rápida: se eu ignorasse a capacidade do corpo do calorímetro eu subestimaria a capacidade real do conjunto em cerca de 1{,}74\%.

Passo 5

Parte (d): calcular o calor específico da peça de metal usando os dados da Parte 2 e a capacidade do calorímetro obtida na Parte 3.
Escrevendo o balanço de energia para o experimento da peça (sem perda para o ambiente):
\text{calor perdido pela peça}=\text{calor ganho pela água do calorímetro}+\text{calor ganho pelo corpo do calorímetro}.çáíí
Em símbolos:
m_{\text{m}}\,c_{\text{m}}\,(T_{\text{m}}-T_{f2}) = m_{\text{cal,água}}\,c\,(T_{f2}-T_{\text{cal,i2}}) + C_{\text{cal}}\,(T_{f2}-T_{\text{cal,i2}}).á
Isolamos c_{\text{m}}:
c_{\text{m}}=\frac{m_{\text{cal,água}}\,c\,(T_{f2}-T_{\text{cal,i2}})+C_{\text{cal}}\,(T_{f2}-T_{\text{cal,i2}})}{m_{\text{m}}\,(T_{\text{m}}-T_{f2})}.á
Agora substituímos os valores numéricos:
  • m_{\text{cal,água}}=1500\\ \mathrm{g}á, c=1\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)},
  • T_{f2}-T_{\text{cal,i2}}=26{,}9-25{,}8=1{,}1^\circ\mathrm{C},
  • C_{\text{cal}}\approx 26{,}141176\\ \mathrm{cal/^\circ C} (valor calculado no passo anterior),
  • m_{\text{m}}=57{,}4\\ \mathrm{g}, T_{\text{m}}-T_{f2}=95{,}1-26{,}9=68{,}2^\circ\mathrm{C}.
Calculemos o numerador:
m_{\text{cal,água}}\,c\,(T_{f2}-T_{\text{cal,i2}})+C_{\text{cal}}\,(T_{f2}-T_{\text{cal,i2}}) = (1500+26{,}141176)\cdot 1{,}1.á
1500+26{,}141176=1526{,}141176.
\text{numerador}=1526{,}141176\cdot1{,}1=1678{,}7552936\\ \mathrm{cal}.
Denominador:
m_{\text{m}}\,(T_{\text{m}}-T_{f2})=57{,}4\cdot68{,}2=3916{,}68\\ \text{(g}\cdot^\circ\mathrm{C)}.
Portanto
c_{\text{m}}=\frac{1678{,}7552936}{3916{,}68}=0{,}428669\ldots\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}.
Arredondando com três algarismos significativos:
c_{\text{m}}\approx 0{,}429\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}.
Breve comentário final de ajuda na prova: o procedimento para a parte (d) é sempre montar o balanço térmico “o que perde = o que ganha”, identificar as massas/ capacidades térmicas e as diferenças de temperatura e isolar a incógnita. Se você usar a capacidade total do calorímetro que obteve na parte (b), a conta fecha como eu fiz.

Resposta

(a) \beta\approx 5{,}06\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}
(b) C_{\text{cal}}\approx 26{,}14\\ \mathrm{cal/^\circ C} (capacidade do corpo do calorímetro) \Rightarrow C_{\text{total}}\approx1526{,}1\\ \mathrm{cal/^\circ C}
(c) \text{erro}\approx 1{,}74\%
(d) c_{\text{peça}}\approx 0{,}429\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}ç

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