(Valor: 2,0 pontos) Sob convecção forçada, um fluido escoa com velocidade de corrente livre de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sobre uma placa plana horizontal com 2 m de comprimento e 3 m de largura, mantida na temperatura uniforme de 100^{\circ} \mathrm{C}. O fluido é o ar a 10 bar e 20^{\circ} \mathrm{C}, e o escoamento se dá no sentido do comprimento da placa. (a) O escoamento do fluido é laminar, turbulento ou misto? Caso seja misto, em que posição da placa ocorre a transição entre os regimes? Calcule (b) o coeficiente convectivo médio entre a placa e o fluido e (c) a taxa de calor entre a placa e o fluido.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) classificar o escoamento (laminar, turbulento ou misto) e, se for misto, indicar a posição de transição sobre a placa; (b) calcular o coeficiente convectivo médio h entre a placa e o ar; (c) calcular a taxa de calor entre a placa e o fluido.
Dados fornecidos (vou listar tudo claramente e numericamente):
\begin{aligned} &\text{Velocidade de corrente livre: } U_\infty=1\\ \mathrm{m/s},\\\ &\text{Comprimento da placa (direção do escoamento): } L=2\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Largura da placa: } W=3\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Temperatura da placa: } T_s=100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Temperatura do ar (livre): } T_\infty=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Pressão do ar: } p=10\\ \mathrm{bar}=10^6\\ \mathrm{Pa}.\\\ \end{aligned}çãã
Observação importante: para propriedades do ar (viscosidade, densidade, condutividade, cp) vou usar valores avaliados na temperatura de filme
T_f=\frac{T_s+T_\infty}{2}= \frac{373{,}15+293{,}15}{2}=333{,}15\\ \mathrm{K}\\ (=60^\circ\mathrm{C}).
Vou explicar e justificar as fórmulas e os valores usados nas etapas seguintes; agora só estou listando o que o problema dá e o que tenho de achar.

Passo 2

Vou obter as propriedades do ar em T_f necessárias para Re, Pr e Nusselt. Relembrando as fórmulas que vou usar:
\rho=\frac{p}{R\,T_f},\qquad \nu=\frac{\mu}{\rho},\qquad \mathrm{Pr}=\frac{c_p\,\mu}{k}.
Explicando cada símbolo:
  • \rho é a densidade do ar (\mathrm{kg/m^3});
  • p é a pressão absoluta (\mathrm{Pa});
  • R é a constante específica do ar, R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)};
  • T_f é a temperatura de filme (\mathrm{K});
  • \mu é a viscosidade dinâmica (\mathrm{Pa\cdot s});
  • \nu é a viscosidade cinemática (\mathrm{m^2/s});
  • c_p é o calor específico a pressão constante (\mathrm{J/(kg\cdot K)});
  • k é a condutividade térmica (\mathrm{W/(m\cdot K)}).
Vou assumir valores tipicamente usados para o ar em T_f=333{,}15\\ \mathrm{K}:
c_p=1007\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\quad k=0{,}028\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Para \mu uso a fórmula de Sutherland (explico por quê: \mu varia com T e a lei de Sutherland é uma boa aproximação para gases):
\mu=\mu_0\left(\frac{T_f}{T_0}\right)^{3/2}\frac{T_0+S}{T_f+S},
onde uso referência \mu_0=1{,}846\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} em T_0=293{,}15\\ \mathrm{K} e constante de Sutherland S=110{,}4\\ \mathrm{K}. Agora calculo passo a passo.
Cálculo de \rho:
\rho=\frac{10^6}{287\cdot333{,}15}= \frac{10^6}{95\,772}\approx 10{,}44\\ \mathrm{kg/m^3}.
Cálculo de \mu pela Sutherland:
\frac{T_f}{T_0}=\frac{333{,}15}{293{,}15}=1{,}1364,\qquad \left(\frac{T_f}{T_0}\right)^{3/2}=1{,}1364^{1{,}5}\approx 1{,}211.
\mu=1{,}846\times10^{-5}\times 1{,}211\times\frac{293{,}15+110{,}4}{333{,}15+110{,}4} =1{,}846\times10^{-5}\times1{,}211\times\frac{403{,}55}{443{,}55}.
\frac{403{,}55}{443{,}55}\approx0{,}9097\quad\Rightarrow\quad \mu\approx 1{,}846\times10^{-5}\times1{,}211\times0{,}9097\approx 2{,}034\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Agora a viscosidade cinemática:
\nu=\frac{\mu}{\rho}=\frac{2{,}034\times10^{-5}}{10{,}44}\approx 1{,}948\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
Cálculo da Prandtl:
\mathrm{Pr}=\frac{c_p\,\mu}{k}=\frac{1007\times 2{,}034\times10^{-5}}{0{,}028}\approx \frac{0{,}02049}{0{,}028}\approx 0{,}732.
Resumo das propriedades usadas:
\rho\approx 10{,}44\\ \mathrm{kg/m^3},\quad \mu\approx 2{,}034\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\quad \nu\approx 1{,}948\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s},\quad \mathrm{Pr}\approx0{,}732,\quad k=0{,}028\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.

Passo 3

Determinar o regime de escoamento usando o número de Reynolds local
\mathrm{Re}_x=\frac{U_\infty\,x}{\nu}.
A transição laminar→turbulento numa placa plana geralmente ocorre em \mathrm{Re}_{x,\mathrm{crit}}\approx 5\times10^{5} (valor clássico para superfície lisa em escoamento externo). Primeiro calculo o Reynolds na extremidade da placa x=L:
\mathrm{Re}_L=\frac{U_\infty L}{\nu}=\frac{1\times 2}{1{,}948\times10^{-6}}\approx 1{,}0268\times10^{6}.
Como \mathrm{Re}_L\approx 1{,}03\times10^{6} é maior que 5\times10^5, o escoamento na placa não é totalmente laminar nem totalmente turbulento: é misto. Agora encontro a posição x_c onde \mathrm{Re}_{x_c}=5\times10^5:
x_c=\frac{\mathrm{Re}_{\mathrm{crit}}\,\nu}{U_\infty}=\frac{5\times10^{5}\times 1{,}948\times10^{-6}}{1}\approx 0{,}974\\ \mathrm{m}.
Interpretação: do bordo de ataque até x\approx 0{,}974\\ \mathrm{m} o contorno é essencialmente laminar; depois, para x>0{,}974\\ \mathrm{m} até x=2\\ \mathrm{m} o escoamento é turbulento. Boa notícia: metade da placa (aprox) é laminar, a outra é turbulenta.

Passo 4

Agora preciso do coeficiente convectivo médio h. Para isso uso correlações clássicas de Nusselt local para placa plana com temperatura de superfície constante:
  • Laminar (local):
\mathrm{Nu}_x^{\mathrm{lam}}=0{,}332\,\mathrm{Re}_x^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
  • Turbulento (local) — correlação empírica usual (para \mathrm{Pr}\sim0{,}6\text{–}60):
\mathrm{Nu}_x^{\mathrm{turb}}=0{,}0296\,\mathrm{Re}_x^{4/5}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
Explicando: \mathrm{Nu}_x=h_x x/k é a Nusselt local; usamos essas fórmulas que dão h_x em função de x (através de \mathrm{Re}_x). Para obter o coeficiente médio sobre o comprimento L devo integrar a Nusselt local e dividir por L:
\overline{\mathrm{Nu}}_L=\frac{1}{L}\int_0^L \mathrm{Nu}_x\,dx.
Como o escoamento é misto, separo a integral em duas partes: de 0 a x_c (laminar) e de x_c a L (turbulento).

Passo 5

Faço as integrais analíticas (é padrão; só precisa calcular). Substituo \mathrm{Re}_x=(U_\infty x)/\nu.
Laminar (integrando de 0 a x_c):
\int_0^{x_c} \mathrm{Nu}_x^{\mathrm{lam}}\,dx =0{,}332\,\mathrm{Pr}^{1/3}\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{1/2}\int_0^{x_c} x^{1/2}dx =0{,}332\,\mathrm{Pr}^{1/3}\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{1/2}\cdot\frac{2}{3}x_c^{3/2}.
Turbulento (integrando de x_c a L):
\int_{x_c}^{L} \mathrm{Nu}_x^{\mathrm{turb}}\,dx =0{,}0296\,\mathrm{Pr}^{1/3}\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{4/5}\int_{x_c}^{L} x^{4/5}dx
=0{,}0296\,\mathrm{Pr}^{1/3}\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{4/5}\cdot\frac{5}{9}\left(L^{9/5}-x_c^{9/5}\right).
Somando e dividindo por L:
\overline{\mathrm{Nu}}_L=\frac{\mathrm{Pr}^{1/3}}{L}\left[ 0{,}332\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{1/2}\frac{2}{3}x_c^{3/2} +0{,}0296\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{4/5}\frac{5}{9}\left(L^{9/5}-x_c^{9/5}\right) \right].
Agora substituo números (vou mostrar as contas numéricas passo a passo, sem pular):
\frac{U_\infty}{\nu}=\frac{1}{1{,}948\times10^{-6}}\approx 5{,}1342\times10^{5}\\ \mathrm{m^{-1}}.
\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{1/2}\approx \sqrt{5{,}1342\times10^{5}}\approx 716{,}56, \qquad \left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{4/5}\approx (5{,}1342\times10^{5})^{0{,}8}\approx 3{,}702\times10^{4}.
Já tínhamos x_c\approx0{,}974\\ \mathrm{m} e L=2\\ \mathrm{m}. Calculo as potências:
x_c^{3/2}=0{,}974^{1{,}5}\approx 0{,}960,\qquad x_c^{9/5}=0{,}974^{1{,}8}\approx 0{,}9536,\qquad L^{9/5}=2^{1{,}8}\approx 3{,}483.
Agora cada termo:
Termo laminar:
0{,}332\times 716{,}56\times\frac{2}{3}\times 0{,}960 \approx 0{,}332\times716{,}56\times0{,}6667\times0{,}960 \approx 152{,}3.
Termo turbulento:
0{,}0296\times 3{,}702\times10^{4}\times\frac{5}{9}\times(3{,}483-0{,}9536)
0{,}0296\times37020\approx1096{,}0;\qquad \frac{5}{9}\approx0{,}5556;
1096{,}0\times0{,}5556\approx609{,}0;\qquad 3{,}483-0{,}9536=2{,}5294;
609{,}0\times2{,}5294\approx1541{,}0.
Soma das integrais:
\int_0^L \mathrm{Nu}_x\,dx \approx \mathrm{Pr}^{1/3}\times(152{,}3+1541{,}0).
Com \mathrm{Pr}^{1/3}=0{,}732^{1/3}\approx0{,}901:
\int_0^L \mathrm{Nu}_x\,dx \approx 0{,}901\times1693{,}3\approx1527{,}5.
Dividindo por L=2\\ \mathrm{m}:
\overline{\mathrm{Nu}}_L\approx \frac{1527{,}5}{2}=763{,}7\approx 7{,}64\times10^{2}.
Finalmente o coeficiente convectivo médio \overline{h} é
\overline{h}=\frac{\overline{\mathrm{Nu}}_L\,k}{L}=\frac{763{,}7\times 0{,}028}{2}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
\overline{h}\approx \frac{21{,}3836}{2}\approx 10{,}692\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Arredondando com consistência: \overline{h}\approx 10{,}7\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 6

Cálculo da taxa de calor total \dot{Q}. A área de troca é A=L\times W=2\times3=6\\ \mathrm{m^2}. A diferença de temperatura é \Delta T=T_s-T_\infty=100-20=80\\ \mathrm{K}. Então:
\dot{Q}=\overline{h}\,A\,\Delta T=10{,}692\times 6\times 80\\ \mathrm{W}.
10{,}692\times 480 = 5{,}134{,}0\\ \mathrm{W}\quad\Rightarrow\quad \dot{Q}\approx 5{,}13\times10^{3}\\ \mathrm{W}.
Ou seja, aproximadamente 5{,}13\\ \mathrm{kW}.

Resposta

(a) Escoamento misto; transição laminar→turbulento em x_c\approx 0{,}974\\ \mathrm{m} a partir do bordo de ataque.
(b) Coeficiente convectivo médio \overline{h}\approx 10{,}7\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
(c) Taxa de calor \dot{Q}\approx 5{,}13\times10^{3}\\ \mathrm{W}.

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