Questão 18

Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A massa P, medida em miligramas, de uma população de bactérias, em uma cultura de laboratório, varia com o tempo t, em minutos, conforme a seguinte lei: P^{\prime}(t)=c P(t), em que c é uma constante real. Sabendo que a massa da população de bactérias quadruplica após o primeiro minuto, o valor numérico da constante e^{c} é:
Resposta: \square 4

Passo 1

O enunciado dá a lei de crescimento
P'(t)=c\,P(t),
onde P(t) é a massa da população em miligramas, t é o tempo em minutos e c é uma constante real. Sabemos que após 1 minuto a massa quadruplica. O conteúdo envolve solução de equação diferencial de primeira ordem e aplicação da condição de contorno para determinar e^c.

Passo 2

Para resolver
P'(t)=c\,P(t),
separamos variáveis e integramos:
\frac{dP}{P}=c\,dt
\implies \ln P = c\,t + K
\implies P(t)=P(0)\,e^{c t},
onde P(0) é a massa inicial.

Passo 3

Usamos a condição de que em t=1 a massa quadruplica:
P(1)=4\,P(0).
Mas da solução temos
P(1)=P(0)\,e^{c\cdot1}=P(0)\,e^c.
Igualando,
P(0)\,e^c=4\,P(0)\quad\implies\quad e^c=4.

Resposta

4

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