Questão 4 (2 pontos) ow Q, S
Usando o Teste da Razão, teste a série sumn=1^infty (2 n!)n!n! para convergência absoluta.

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência absoluta da série
sumn=1^infty (2n)!n!,n!
usando o Teste da Razão. Aqui o conteúdo é o Teste da Razão para séries numéricas com termos positivos, que diz que, se
L = limntoinfty |an+1an|,
então a série converge absolutamente se L<1, diverge se L>1 e o teste é inconclusivo se L=1.

Passo 2

Identificamos an = dfrac(2n)!n!,n!. Vamos escrever o termo seguinte:
an+1 = (2(n+1))!(n+1)!,(n+1)! = (2n+2)!(n+1)!,(n+1)!

Passo 3

Calculamos a razão
an+1an = (2n+2)!(n+1)!,(n+1)!(2n)!n!,n! = (2n+2)!;n!;n!(2n)!;(n+1)!;(n+1)!
Agora use (2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)! e (n+1)!=(n+1)n! para obter
an+1an = (2n+2)(2n+1),(2n)!;n!;n!(2n)!;(n+1),n!;(n+1),n! = (2n+2)(2n+1)(n+1)^2
Tomando o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty(2n+2)(2n+1)(n+1)^2 = limntoinfty4n^2+6n+2n^2+2n+1 =4

Passo 4

Como L=4>1, o Teste da Razão diz que a série diverge. E como os termos são todos não-negativos, a divergência da série implica também que ela não converge absolutamente.

Resposta

A série diverge (logo não converge absolutamente).

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