Questão 5 (2 pontos) ok - 0,25)
Obtenha a soma da série infinita dada, com precisão de três casas decimais.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 1(2 n)^3
Obs: Deixar a soma indicada, não resolver.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, com precisão de três casas decimais, a soma da série alternante
sumn=1^+infty(-1)^n+11(2n)^3
Este é um caso de série do tipo alternante de termos 1/n^3, que se relaciona com a função zeta de Riemann e a função eta de Dirichlet.

Passo 2

Observe que
sumn=1^+infty(-1)^n+11(2n)^3 =18sumn=1^+infty(-1)^n+11n^3 =18,eta(3),
onde eta(s) é a função eta de Dirichlet.

Passo 3

Usando a relação entre as funções eta e zeta,
eta(3) = l(1-2^1-3r),zeta(3) =34,zeta(3)
Então
sumn=1^+infty(-1)^n+11(2n)^3 =18cdot34,zeta(3) =332,zeta(3)

Passo 4

Adotando o valor numérico zeta(3)approx1,202056, obtemos
332,zeta(3) =332times1,202056 approx0,112693

Resposta

0,113

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