• Questão 16. Determine a derivada de ordem n.
    (d) h(x)=cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n da função h(x)=cos x.
Aqui vamos usar o fato de que as derivadas sucessivas de cos x formam um ciclo de período 4, voltando sempre a cos x.

Passo 2

Calculemos as primeiras derivadas para enxergar o padrão:
ddxcos x = -sin x,
d^2dx^2cos x = -cos x,
d^3dx^3cos x = sin x,
d^4dx^4cos x = cos x
Ou seja, a cada quatro diferenciações voltamos ao ponto de partida.

Passo 3

Como o ciclo tem período 4, a derivada de ordem n só depende de n módulo 4. Mais geometricamente, cada derivada corresponde a um deslocamento de pi/2 no argumento da função cosseno.

Passo 4

Isso leva à fórmula geral, válida para todo n>=0:
h^(n)(x) = cos!l(x + npi2r)

Resposta

h^(n)(x)=cos!l(x + npi2r)

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