- Questão 16. Determine a derivada de ordem
.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede a derivada de ordem
da função
.
Aqui vamos usar o fato de que as derivadas sucessivas de formam um ciclo de período 4, voltando sempre a
.
Aqui vamos usar o fato de que as derivadas sucessivas de
Passo 2
Calculemos as primeiras derivadas para enxergar o padrão:
Ou seja, a cada quatro diferenciações voltamos ao ponto de partida.
Passo 3
Como o ciclo tem período 4, a derivada de ordem
só depende de
módulo 4. Mais geometricamente, cada derivada corresponde a um deslocamento de
no argumento da função cosseno.
Passo 4
Isso leva à fórmula geral, válida para todo
: