Verifique se os limites existem:

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe o limite
lim(x,y)to(1,0) (x-1)^2y(x-1)^4+y^2
Esse é um problema de limites em duas variáveis, e para testar existência costumamos mudar de variável ou analisar diferentes trajetórias de aproximação.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável u = x-1. Então (x,y)to(1,0) vira (u,y)to(0,0) e a expressão fica
u^2yu^4+y^2,

Passo 3

Primeiro, aproximando pela reta y=0, temos
u^2cdot 0u^4+0^2 = 0,
logo essa trajetória dá limite igual a 0.

Passo 4

Agora aproximamos por parábolas do tipo y = k,u^2, com constante k. Substituindo,
u^2,(k,u^2)u^4+(k,u^2)^2 = k,u^4u^4+k^2u^4 = k1+k^2,
que independe de u e varia com k.

Passo 5

Como diferentes valores de k dão
k1+k^2
e já pela reta y=0 obtivemos 0, o valor do limite depende da trajetória escolhida. Portanto não há valor único.

Resposta

O limite não existe.

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