Suponha que um distribuidor de sementes identifica, por meio de testes, que 5 % de suas sementes não germinam.
a) Se ele vende pacotes com 200 sementes com garantia de 90 % de germinação, obtenha a probabilidade de que um pacote não satisfaça a garantia.
b) Para pacotes com 200 sementes, determine o valor po que deve ser fixado como garantia de germinação a fim de que 99 % dos pacotes satisfaçam tal garantia.

Passo 1

O enunciado fala de pacotes de n=200 sementes em que cada semente germina com probabilidade p=0,95. Seja X a quantidade de sementes que germinam em um pacote. Então
Xsim Binomial(n=200,;p=0,95)
Para resolver as duas partes vamos usar (i) definição de binomial e (ii) aproximação normal com correção de continuidade, já que n é grande e p não é extremo.

Passo 2

Para a) queremos a probabilidade de o pacote não satisfazer a garantia de 90% de germinação, isto é
Pl(X<0,9cdot200r)=P(X<180)=P(X<=179)
Pela aproximação normal temos
mu = np = 200cdot0,95 = 190, sigma = raiznp(1-p) = raiz200cdot0,95cdot0,05 = raiz9,5approx3,082
Com correção de continuidade,
P(X<=179)approx Pl(Z<179,5 - 1903,082r) = Pl(Z<-3,407r)approx0,00033

Passo 3

Para b) queremos po tal que
Pl(X>= pocdot200r)>=0,99
Seja k = pocdot200. Precisamos de P(X<k)<=0,01, i.e.
P(X<= k-1)<=0,01
Usando normal com correção de continuidade,
Pl(Z<(k-1)+0,5 - 1903,082r)=0,01 Longrightarrow k - 0,5 - 1903,082 = -2,33
Logo
k = 190 - 2,33cdot3,082 + 0,5 approx 183,32
e o menor inteiro que garante a condição é k=184. Assim
po = 184200 = 0,92

Resposta

a) P(não satisfazer)approx0,00033ã
b) po=0,92 (isto é, 92% de germinação).

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