Questão 16. Mostre que x^{4}+4 é um polinômio redutível sobre \mathbb{Q}.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio \;x^{4}+4\; e pede para mostrar que ele é redutível sobre \mathbb{Q}.
Informações relevantes: o polinômio tem coeficientes inteiros (logo racionais) e grau 4. A tarefa é encontrar uma fatoração não-trivial em \mathbb{Q}[x], isto é, escrever \;x^{4}+4\; como produto de polinômios de grau menor que 4 e com coeficientes racionais.

Passo 2

O que significa "redutível sobre \mathbb{Q}"?
Um polinômio f(x)\in\mathbb{Q}[x] é redutível se existem polinômios não constantes g(x),h(x)\in\mathbb{Q}[x] tais que
f(x)=g(x)\,h(x),
com 1\le\deg g,\deg h<\deg f. Mostrar redutibilidade aqui significa encontrar explicitamente tais g e h.

Passo 3

Vamos buscar uma identidade algébrica que permita fatorar \;x^{4}+4\;. Uma ideia útil é transformar a expressão numa diferença de quadrados, porque temos a identidade fundamental
A^2-B^2=(A-B)(A+B).
Para fazer isso, tentamos escrever \;x^{4}+4\; como diferença de quadrados. Observe que podemos adicionar e subtrair o mesmo termo para completar um quadrado:
x^{4}+4 = x^{4}+4x^{2}+4-4x^{2}.
Note que eu somei e subtraí \;4x^{2}\; — isso não muda o valor, só permite reorganizar.

Passo 4

Agrupando, vemos que a parte x^{4}+4x^{2}+4 é um quadrado perfeito:
x^{4}+4x^{2}+4=(x^{2}+2)^{2}.
Assim
x^{4}+4=(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2},
onde usei 2x porque (2x)^2=4x^2. Agora aplico a identidade da diferença de quadrados com A=x^{2}+2 e B=2x:
x^{4}+4=(x^{2}+2-2x)(x^{2}+2+2x).
Simplificando os termos dentro dos parênteses:
x^{4}+4=(x^{2}-2x+2)(x^{2}+2x+2).

Passo 5

Verificação explícita (multiplicação para checar): multiplico (x^{2}-2x+2)(x^{2}+2x+2).
Calculemos termo a termo:
\begin{aligned} x^{2}\cdot(x^{2}+2x+2)&=x^{4}+2x^{3}+2x^{2},\\\\ -2x\cdot(x^{2}+2x+2)&=-2x^{3}-4x^{2}-4x,\\\\ 2\cdot(x^{2}+2x+2)&=2x^{2}+4x+4. \end{aligned}
Somando as três linhas:
x^{4}+(2x^{3}-2x^{3})+(2x^{2}-4x^{2}+2x^{2})+(-4x+4x)+4 = x^{4}+4,
portanto a multiplicação dá exatamente \;x^{4}+4\;, confirmando a fatoração.

Passo 6

Conclusão sobre redutibilidade: os fatores \;x^{2}-2x+2\; e \;x^{2}+2x+2\; têm coeficientes inteiros (logo racionais) e são de grau 2, estritamente menores que 4. Assim encontramos polinômios não-constantes em \mathbb{Q}[x] cujo produto é \;x^{4}+4\;. Logo \;x^{4}+4\; é redutível sobre \mathbb{Q}.
Bônus didático (opcional): cada quadrática tem discriminante
\Delta = (-2)^2-4\cdot1\cdot2=4-8=-4
ou
\Delta = (2)^2-4\cdot1\cdot2=4-8=-4,
que não é quadrado racional, então cada quadrática é irredutível em \mathbb{Q}[x]. Assim a fatoração acima é a fatoração em produto de polinômios de grau 2 irreduzíveis em \mathbb{Q}[x].

Resposta

x^{4}+4=(x^{2}-2x+2)(x^{2}+2x+2)

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