Questão 16. Mostre que
é um polinômio redutível sobre
.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede para mostrar que ele é redutível sobre
.
Informações relevantes: o polinômio tem coeficientes inteiros (logo racionais) e grau . A tarefa é encontrar uma fatoração não-trivial em
, isto é, escrever
como produto de polinômios de grau menor que
e com coeficientes racionais.
Informações relevantes: o polinômio tem coeficientes inteiros (logo racionais) e grau
Passo 2
O que significa "redutível sobre
"?
Um polinômio é redutível se existem polinômios não constantes
tais que
Um polinômio
com
. Mostrar redutibilidade aqui significa encontrar explicitamente tais
e
.
Passo 3
Vamos buscar uma identidade algébrica que permita fatorar
. Uma ideia útil é transformar a expressão numa diferença de quadrados, porque temos a identidade fundamental
Para fazer isso, tentamos escrever
como diferença de quadrados. Observe que podemos adicionar e subtrair o mesmo termo para completar um quadrado:
Note que eu somei e subtraí
— isso não muda o valor, só permite reorganizar.
Passo 4
Agrupando, vemos que a parte
é um quadrado perfeito:
Assim
onde usei
porque
. Agora aplico a identidade da diferença de quadrados com
e
:
Simplificando os termos dentro dos parênteses:
Passo 5
Verificação explícita (multiplicação para checar): multiplico
.
Calculemos termo a termo:
Calculemos termo a termo:
Somando as três linhas:
portanto a multiplicação dá exatamente
, confirmando a fatoração.
Passo 6
Conclusão sobre redutibilidade: os fatores
e
têm coeficientes inteiros (logo racionais) e são de grau
, estritamente menores que
. Assim encontramos polinômios não-constantes em
cujo produto é
. Logo
é redutível sobre
.
Bônus didático (opcional): cada quadrática tem discriminante
ou
que não é quadrado racional, então cada quadrática é irredutível em
. Assim a fatoração acima é a fatoração em produto de polinômios de grau
irreduzíveis em
.