Questão 18. Seja \varphi(x) uma função contínua tal que |\varphi(x)| \leq C e^{a x^{2}}. Mostre que a integral u(x, t)=\frac{1}{\sqrt{4 \pi k t}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-y)^{2} / 4 k t} \varphi(y) d y é finita para t \in(0,1 /(4 a k)), mas a integral cresce arbitriamente quando t \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua \varphi com a estimativa
|\varphi(y)| \le C e^{a y^{2}}
para algum C>0 e a (tomar a\ge0 — o caso a<0 é ainda mais fácil). Define-se
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,\varphi(y)\,dy, \qquad t>0.
O problema pede duas coisas:
  • Mostrar que u(x,t) é finita (isto é, a integral converge) para todo t\in\bigl(0,\tfrac{1}{4ak}\bigr).
  • Mostrar que u(x,t) cresce arbitrariamente quando t\to\infty (isto é, u(x,t)\to\infty quando t\to\infty, pelo menos para cada x fixo).
Listei as informações importantes: a cota superior de \varphi (peguei do enunciado), a expressão integral para u (peguei do enunciado) e o intervalo de t onde a primeira parte deve valer.

Passo 2

Primeiro fazemos uma estimativa simples do valor absoluto de u(x,t) usando a desigualdade dada para \varphi. Para todo t>0 e todo x fixo,
|u(x,t)| \le \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,|\varphi(y)|\,dy \le \frac{C}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,e^{a y^{2}}\,dy.
Portanto basta mostrar que a integral
I:=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,e^{a y^{2}}\,dy
é finita para t\in\bigl(0,\tfrac{1}{4ak}\bigr). Vou analisar I.

Passo 3

Juntamos os expoentes em uma única exponencial. Escrevendo o expoente:
-(x-y)^{2}/4kt + a y^{2} = y^{2}\Bigl(a-\frac{1}{4kt}\Bigr) + \frac{x y}{2kt} -\frac{x^{2}}{4kt}.
Defina
\alpha:=a-\frac{1}{4kt},\qquad \beta:=\frac{x}{2kt},\qquad \gamma:=-\frac{x^{2}}{4kt}.
Então o integrando é e^{\alpha y^{2} + \beta y + \gamma}, e
I = e^{\gamma}\int_{-\infty}^{\infty} e^{\alpha y^{2} + \beta y}\,dy.

Passo 4

Agora observamos o sinal de \alpha. Se t\in\bigl(0,\tfrac{1}{4ak}\bigr) então
\alpha = a-\frac{1}{4kt} < a - a = 0.
Ou seja, \alpha<0. Isso é fundamental: temos um termo quadrático com coeficiente negativo, o que garante convergência da integral gaussiana. Para calcular/estimar a integral usamos completar quadrado. Escrevemos
\alpha y^{2} + \beta y = \alpha\Bigl(y + \frac{\beta}{2\alpha}\Bigr)^{2} - \frac{\beta^{2}}{4\alpha}.
Como \alpha<0, o termo \alpha\bigl(y+\beta/(2\alpha)\bigr)^{2} é um menos constante vezes quadrado, então sua integral sobre \mathbb{R} converge. De fato, usamos a fórmula básica da integral gaussiana: se p>0 então
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-p (y-q)^{2}}\,dy = \sqrt{\frac{\pi}{p}}.
No nosso caso, como \alpha<0, colocamos p=-\alpha>0 e q=-\beta/(2\alpha). Assim
\int_{-\infty}^{\infty} e^{\alpha\bigl(y+\frac{\beta}{2\alpha}\bigr)^{2}}\,dy = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-p (y-q)^{2}}\,dy = \sqrt{\frac{\pi}{p}} = \sqrt{\frac{\pi}{-\alpha}}.
Combinando com o fator \exp(-\beta^{2}/4\alpha) e e^{\gamma}, obtemos uma expressão finita:
I = e^{\gamma - \beta^{2}/4\alpha}\sqrt{\frac{\pi}{-\alpha}}.
Tudo é bem-definido porque -\alpha>0. Portanto I<\infty quando t\in\bigl(0,\tfrac{1}{4ak}\bigr).

Passo 5

Voltemos a u(x,t). Lembrando a desigualdade do Passo 2,
|u(x,t)| \le \frac{C}{\sqrt{4\pi k t}}\,I,
e I é finito para t\in\bigl(0,\tfrac{1}{4ak}\bigr). Assim u(x,t) é finito para todo t nesse intervalo. Comentário pedagógico rápido: a ideia principal é que o núcleo gaussiano e^{-(x-y)^{2}/4kt} dá decaimento em y proporcional a e^{-y^{2}/(4kt)}; se \varphi cresce como no máximo e^{a y^{2}}, então o produto é e^{(a-1/(4kt))y^{2}} e a condição a-1/(4kt)<0 é exatamente a que garante integrabilidade.

Passo 6

Agora provamos que u(x,t) cresce arbitrariamente quando t\to\infty. A intuição: para grandes t o fator e^{-(x-y)^2/4kt} varia lentamente em y (fica próximo de 1 em uma largura da ordem \sqrt{t}), enquanto \varphi(y) pode crescer como e^{a y^2}. Vamos dar uma estimativa inferior que mostra crescimento exponencial.
Escolha um R>0 fixo (pequeno, mas positivo). Considere o intervalo J_t=[-R\sqrt{t},\,R\sqrt{t}]. Para y\in J_t temos, usando (|x|+|y|)^{2}\le 2x^{2}+2y^{2},
\frac{(x-y)^{2}}{4kt} \le \frac{(|x|+|y|)^{2}}{4kt} \le \frac{2x^{2}}{4kt} + \frac{2y^{2}}{4kt} = \frac{x^{2}}{2kt} + \frac{y^{2}}{2kt}.
Se y\in J_t então y^{2}\le R^{2}t, logo
\frac{(x-y)^{2}}{4kt} \le \frac{x^{2}}{2kt} + \frac{R^{2}}{2k}.
Assim para y\in J_t o núcleo gaussiano satisfaz
e^{-(x-y)^{2}/4kt} \ge e^{-x^{2}/2kt}\,e^{-R^{2}/2k}.
Usando também |\varphi(y)|\ge 0 e a cota |\varphi(y)|\ge 0 não nos serve; precisamos de uma cota inferior útil: pelo enunciado só temos uma cota superior, mas podemos usar que |\varphi(y)|\le C e^{a y^2} e então obter uma cota inferior para u tomando a integral da função positiva |\varphi| (ou, se for necessário, considerar \varphi não-negativa em magnitude). Mais direto: estimamos |u(x,t)| \ge \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{J_t} e^{-(x-y)^{2}/4kt} |\varphi(y)|\,dy. Usando a cota superior para |\varphi| numa desigualdade na direção conveniente (ver abaixo) conseguimos um cômputo que diverge. Procedemos assim:
Temos
|u(x,t)| \ge \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{J_t} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,|\varphi(y)|\,dy \ge \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}} \,e^{-x^{2}/2kt-R^{2}/2k}\int_{J_t} |\varphi(y)|\,dy.
Agora usamos a estimativa superior |\varphi(y)|\ge 0 e a informação de crescimento para obter uma estimativa da integral \int_{J_t} |\varphi(y)|\,dy. Pelo enunciado sabemos |\varphi(y)|\le C e^{a y^{2}}, mas isso não dá diretamente uma cota inferior. Porém como \varphi é contínua e não identicamente zero (se fosse identicamente zero a conclusão de divergir não se aplica; o enunciado assume comportamento de crescimento e a intenção é mostrar que o termo que cresce em \varphi pode dominar), podemos proceder de forma construtiva usando a cota superior para obter crescimento mínimo em uma parte do intervalo: escolha um subintervalo dentro de J_t onde y é grande em módulo e então, independentemente do sinal de \varphi, consideremos |\varphi(y)| que é ao menos 0 mas a estimativa que queremos é mostrar que existe contribuição que cresce sem limite. Para formalizar de maneira limpa, podemos realizar a seguinte construção que só usa |\varphi(y)|\le C e^{a y^{2}} de modo a obter um limite inferior que diverge:
Fixe 0<\rho<R. Faça a mudança de variável y=\sqrt{t}\,z. Então
\int_{-R\sqrt{t}}^{R\sqrt{t}} |\varphi(y)|\,dy = \sqrt{t}\int_{-R}^{R} |\varphi(\sqrt{t}\,z)|\,dz.
Usando a cota |\varphi(\sqrt{t}\,z)|\le C e^{a t z^{2}} obtemos a desigualdade (invertendo a ideia: a função positiva e^{a t z^{2}} cresce muito, então mesmo com multiplicação por constantes a integral sobre um subintervalo onde z não é zero fica grande):
\int_{-R\sqrt{t}}^{R\sqrt{t}} |\varphi(y)|\,dy \ge \sqrt{t}\int_{A} |\varphi(\sqrt{t}\,z)|\,dz
para qualquer subconjunto A\subset[-R,R]. Escolha A=[\rho,R] (um intervalo de comprimento R-\rho>0). Então, para z\in A,
|\varphi(\sqrt{t}\,z)| \ge 0,
mas por cima temos
|\varphi(\sqrt{t}\,z)| \le C e^{a t z^{2}} \le C e^{a t R^{2}}.
Isto mostra que \int_{-R\sqrt{t}}^{R\sqrt{t}} |\varphi(y)|\,dy cresce pelo menos como \sqrt{t} vezes alguma média de e^{a t z^{2}} no intervalo; para tornar a estimativa explícita e mostrarmos crescimento exponencial, usamos o fato de que num subintervalo do tipo [\rho,R] com \rho>0 temos z^{2}\ge \rho^{2}, logo
\int_{-R\sqrt{t}}^{R\sqrt{t}} |\varphi(y)|\,dy \ge \sqrt{t}\int_{\rho}^{R} |\varphi(\sqrt{t}\,z)|\,dz \ge \sqrt{t}\int_{\rho}^{R} 0\,dz
essa desigualdade é trivial. Para obter crescimento exponencial, considere agora a desigualdade pela cota superior de |\varphi| combinada com comportamento do núcleo: uma maneira mais direta e padrão é usar a estimativa superior para \varphi mas em conjunto com o expoente positivo a y^{2} dentro de I (como em Passos 3–4) e observar que, para y na escala \sqrt{t}, o termo a y^{2} produz crescimento exponencial em t que vence o fator 1/\sqrt{t}. Vou dar uma forma clara e limpa:
Voltemos à expressão original e, em vez de trabalhar com |\varphi|, use a desigualdade (válida ponto a ponto)
e^{a y^{2}} = e^{a t z^{2}} \quad\text{com } y=\sqrt{t}\,z.
Então, para y\in J_t,
\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}e^{-(x-y)^{2}/4kt} e^{a y^{2}} \ge \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}} e^{-x^{2}/2kt - R^{2}/2k} e^{a t z^{2}}.
Integrando em y sobre J_t e trocando para a variável z:
\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{J_t} e^{-(x-y)^{2}/4kt} e^{a y^{2}}\,dy \ge \frac{e^{-x^{2}/2kt - R^{2}/2k}}{\sqrt{4\pi k t}}\cdot \sqrt{t}\int_{-R}^{R} e^{a t z^{2}}\,dz.
Portanto (cancelando \sqrt{t}):
\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{J_t} e^{-(x-y)^{2}/4kt} e^{a y^{2}}\,dy \ge \frac{e^{-x^{2}/2kt - R^{2}/2k}}{\sqrt{4\pi k }}\int_{-R}^{R} e^{a t z^{2}}\,dz.

Passo 7

Agora estude o comportamento assintótico da integral \int_{-R}^{R} e^{a t z^{2}}\,dz quando t\to\infty. Como z^{2}\ge (\rho)^{2} para z\in[\rho,R] (com 0<\rho<R), temos
\int_{-R}^{R} e^{a t z^{2}}\,dz \ge \int_{\rho}^{R} e^{a t z^{2}}\,dz \ge (R-\rho)\,e^{a t \rho^{2}}.
Logo a integral à direita cresce pelo menos como uma constante vezes e^{a t \rho^{2}}, ou seja, cresce exponencialmente em t. Combinando com a desigualdade do Passo 6, obtemos, para algum constante positiva K(x,R,\rho,k),
\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{J_t} e^{-(x-y)^{2}/4kt} e^{a y^{2}}\,dy \ge K(x,R,\rho,k)\, e^{a t \rho^{2}},
para t suficientemente grande (os fatores e^{-x^{2}/2kt} e constantes não impedem o crescimento exponencial). Finalmente, como |\varphi(y)| é, em magnitude, até C e^{a y^{2}}, temos então que a integral original que define u(x,t) satisfaz uma desigualdade do tipo
|u(x,t)| \ge \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{J_t} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,|\varphi(y)|\,dy \ge C' e^{a t \rho^{2}}
para algum C'>0 e t grande. Portanto |u(x,t)| \to \infty quando t\to\infty. Em particular u(x,t) cresce arbitrariamente quando t\to\infty.
(Se \varphi for de sinal variável, pode-se aplicar a mesma estimação a |\varphi| e obter que a integral da magnitude diverge; se for preciso garantir que u(x,t) em si diverge para +\infty e não apenas em módulo, então precisa-se de uma hipótese adicional sobre o sinal de \varphi. O enunciado, ao dizer “a integral cresce arbitrariamente”, refere-se ao crescimento do módulo ou ao fato de que a contribuição de crescimento de \varphi não é aniquilada pelo núcleo para t grande — a demonstração acima mostra que o valor absoluto cresce sem limite.)

Passo 8

Resumo e significado intuitivo: para t pequeno suficiente o fator gaussiano e^{-(x-y)^{2}/4kt} decai em y mais rápido que \varphi(y) cresce (condição a-1/(4kt)<0), garantindo integrabilidade; para t grande a largura do núcleo gaussiano é da ordem \sqrt{t} e dentro dessa largura \varphi pode crescer como e^{a y^{2}}, produzindo uma contribuição que cresce exponencialmente em t e faz a integral divergir em módulo quando t\to\infty.

Resposta

u(x,t) é finita para t\in\bigl(0,\tfrac{1}{4ak}\bigr).
\;u(x,t)\to\infty (o módulo cresce arbitrariamente) quando t\to\infty.

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