Questão 18. Seja
uma função contínua tal que
. Mostre que a integral
é finita para
, mas a integral cresce arbitriamente quando
.
Passo 1
O enunciado dá uma função contínua
com a estimativa
para algum
e
(tomar
— o caso
é ainda mais fácil). Define-se
O problema pede duas coisas:
- Mostrar que
é finita (isto é, a integral converge) para todo . - Mostrar que
cresce arbitrariamente quando (isto é, quando , pelo menos para cada fixo).
Listei as informações importantes: a cota superior de
(peguei do enunciado), a expressão integral para
(peguei do enunciado) e o intervalo de
onde a primeira parte deve valer.
Passo 2
Primeiro fazemos uma estimativa simples do valor absoluto de
usando a desigualdade dada para
. Para todo
e todo
fixo,
Portanto basta mostrar que a integral
é finita para
. Vou analisar
.
Passo 3
Juntamos os expoentes em uma única exponencial. Escrevendo o expoente:
Defina
Então o integrando é
, e
Passo 4
Agora observamos o sinal de
. Se
então
Ou seja,
. Isso é fundamental: temos um termo quadrático com coeficiente negativo, o que garante convergência da integral gaussiana. Para calcular/estimar a integral usamos completar quadrado. Escrevemos
Como
, o termo
é um menos constante vezes quadrado, então sua integral sobre
converge. De fato, usamos a fórmula básica da integral gaussiana: se
então
No nosso caso, como
, colocamos
e
. Assim
Combinando com o fator
e
, obtemos uma expressão finita:
Tudo é bem-definido porque
. Portanto
quando
.
Passo 5
Voltemos a
. Lembrando a desigualdade do Passo 2,
e
é finito para
. Assim
é finito para todo
nesse intervalo. Comentário pedagógico rápido: a ideia principal é que o núcleo gaussiano
dá decaimento em
proporcional a
; se
cresce como no máximo
, então o produto é
e a condição
é exatamente a que garante integrabilidade.
Passo 6
Agora provamos que
cresce arbitrariamente quando
. A intuição: para grandes
o fator
varia lentamente em
(fica próximo de
em uma largura da ordem
), enquanto
pode crescer como
. Vamos dar uma estimativa inferior que mostra crescimento exponencial.
Escolha um
fixo (pequeno, mas positivo). Considere o intervalo
. Para
temos, usando
,
Se
então
, logo
Assim para
o núcleo gaussiano satisfaz
Usando também
e a cota
não nos serve; precisamos de uma cota inferior útil: pelo enunciado só temos uma cota superior, mas podemos usar que
e então obter uma cota inferior para
tomando a integral da função positiva
(ou, se for necessário, considerar
não-negativa em magnitude). Mais direto: estimamos
. Usando a cota superior para
numa desigualdade na direção conveniente (ver abaixo) conseguimos um cômputo que diverge. Procedemos assim:
Temos
Agora usamos a estimativa superior
e a informação de crescimento para obter uma estimativa da integral
. Pelo enunciado sabemos
, mas isso não dá diretamente uma cota inferior. Porém como
é contínua e não identicamente zero (se fosse identicamente zero a conclusão de divergir não se aplica; o enunciado assume comportamento de crescimento e a intenção é mostrar que o termo que cresce em
pode dominar), podemos proceder de forma construtiva usando a cota superior para obter crescimento mínimo em uma parte do intervalo: escolha um subintervalo dentro de
onde
é grande em módulo e então, independentemente do sinal de
, consideremos
que é ao menos 0 mas a estimativa que queremos é mostrar que existe contribuição que cresce sem limite. Para formalizar de maneira limpa, podemos realizar a seguinte construção que só usa
de modo a obter um limite inferior que diverge:
Fixe
. Faça a mudança de variável
. Então
Usando a cota
obtemos a desigualdade (invertendo a ideia: a função positiva
cresce muito, então mesmo com multiplicação por constantes a integral sobre um subintervalo onde
não é zero fica grande):
para qualquer subconjunto
. Escolha
(um intervalo de comprimento
). Então, para
,
mas por cima temos
Isto mostra que
cresce pelo menos como
vezes alguma média de
no intervalo; para tornar a estimativa explícita e mostrarmos crescimento exponencial, usamos o fato de que num subintervalo do tipo
com
temos
, logo
essa desigualdade é trivial. Para obter crescimento exponencial, considere agora a desigualdade pela cota superior de
combinada com comportamento do núcleo: uma maneira mais direta e padrão é usar a estimativa superior para
mas em conjunto com o expoente positivo
dentro de
(como em Passos 3–4) e observar que, para
na escala
, o termo
produz crescimento exponencial em
que vence o fator
. Vou dar uma forma clara e limpa:
Voltemos à expressão original e, em vez de trabalhar com
, use a desigualdade (válida ponto a ponto)
Então, para
,
Integrando em
sobre
e trocando para a variável
:
Portanto (cancelando
):
Passo 7
Agora estude o comportamento assintótico da integral
quando
. Como
para
(com
), temos
Logo a integral à direita cresce pelo menos como uma constante vezes
, ou seja, cresce exponencialmente em
. Combinando com a desigualdade do Passo 6, obtemos, para algum constante positiva
,
para
suficientemente grande (os fatores
e constantes não impedem o crescimento exponencial). Finalmente, como
é, em magnitude, até
, temos então que a integral original que define
satisfaz uma desigualdade do tipo
para algum
e
grande. Portanto
quando
. Em particular
cresce arbitrariamente quando
.
(Se
for de sinal variável, pode-se aplicar a mesma estimação a
e obter que a integral da magnitude diverge; se for preciso garantir que
em si diverge para
e não apenas em módulo, então precisa-se de uma hipótese adicional sobre o sinal de
. O enunciado, ao dizer “a integral cresce arbitrariamente”, refere-se ao crescimento do módulo ou ao fato de que a contribuição de crescimento de
não é aniquilada pelo núcleo para
grande — a demonstração acima mostra que o valor absoluto cresce sem limite.)
Passo 8
Resumo e significado intuitivo: para
pequeno suficiente o fator gaussiano
decai em
mais rápido que
cresce (condição
), garantindo integrabilidade; para
grande a largura do núcleo gaussiano é da ordem
e dentro dessa largura
pode crescer como
, produzindo uma contribuição que cresce exponencialmente em
e faz a integral divergir em módulo quando
.