Questão 16 - Resolva a equação diferencial de variáveis separáveis:

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial de variáveis separáveis
dydx = lnl(x^yr), y(1)=1
O conteúdo é “variáveis separáveis” e vamos usar a propriedade do logaritmo e a técnica de separar y de x.

Passo 2

Usamos a identidade lnl(x^yr)=yln x. Assim a equação fica
dydx=yln x

Passo 3

Separe as variáveis colocando todos os y de um lado e os x de outro:
1y,dy = ln x,dx

Passo 4

Integre ambos os lados:
integral 1y,dy = integral ln x,dx

Passo 5

Calcule as integrais:
  • Lado esquerdo: integral 1y,dy = lnlvert yrvert.
  • Lado direito: integral ln x,dx = xln x - x.
    Logo
lnlvert yrvert = xln x - x + C

Passo 6

Exponencie para isolar y, escrevendo a constante como A=e^C:
y = A ,e^,xln x - x = A,x^x,e^-x

Passo 7

Aplique a condição inicial y(1)=1:
1 = Acdot 1^1,e^-1 = A,e^-1 ;Longrightarrow;A = e

Passo 8

Substituindo A=e na solução geral, obtemos a solução particular:
y(x) = e,x^x,e^-x = x^x,e^,1-x

Resposta

boxedy(x)=x^x,e^,1-x

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