Usando o processo de eliminação de GaussJordan, determine a forma linha reduzida das seguintes matrizes:
2.
Passo 1
O enunciado pede para usar eliminação de Gauss–Jordan e achar a forma reduzida por linhas (RREF) da matriz
Vamos aplicar conceitos de pivô, escalonamento e cancelamento de linhas até obter 1s como pivôs e zeros acima e abaixo deles.
Passo 2
Primeiro, note que se definir
então implica que a matriz tem posto 2 (duas linhas independentes). Nesse caso há dois pivôs: um na coluna 1 e outro na coluna 2. Fazemos os seguintes passos:
– Tornamos o pivô igual a 1, dividindo a primeira linha por .
– Eliminamos em baixo do pivô 1 para zerar o elemento .
– Escalonamos a segunda linha para fazer o novo pivô igual a 1.
– Voltamos para cima e zeramos o elemento acima do segundo pivô.
Ao final obtemos
Passo 3
Se De, o posto cai para <=1. Há duas possibilidades não triviais:
– Se pelo menos um dos elementos a,b,c,d,e,f for não nulo, o posto é exatamente 1. Então só existe um pivô. Escolhemos a primeira coluna da esquerda para a direita que não seja toda zero, e, se necessário, permutamos linhas para trazer o pivô para a primeira linha. Depois dividimos essa linha pelo valor do pivô para torná-lo 1 e zeramos a outra linha inteira. O resultado geral é
1 & p & q[4pt]0 & 0 & 0,
onde p e q são os elementos originais daquela linha divididos pelo pivô.
– Se todos os seis elementos forem zero, o posto é 0 e a RREF é simplesmente a matriz zero:
0 & 0 & 00 & 0 & 0
Passo 4
Em resumo, há três casos de RREF para M=a & b & cd & e & f:
Se a e - b d neq 0:
1 & 0 & dfracc e - b fa e - b d[6pt] 0 & 1 & dfraca f - c da e - b d
Se a e - b d = 0 e (a,b,c,d,e,f)neq(0,0,0,0,0,0):
1 & p & q[4pt]0 & 0 & 0,
onde escolhe o pivô na primeira coluna não-nula e define-se p,q pelos valores originais daquela linha divididos pelo pivô.
3) Se (a,b,c,d,e,f)=(0,0,0,0,0,0):