Questão 16: Resolva, usando o método de Gauss, os seguintes sistemas de equações lineares.
lx1+2 x2-3 x4+x5=0 x1+2 x2+x3-3 x4+x5+2 x6=0 x1+2 x2-3 x4+2 x5+x6=0 3 x1+6 x2+x3-9 x4+4 x5+3 x6=0

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema homogêneo de quatro equações lineares em seis incógnitas x1,x2,x3,x4,x5,x6. O objetivo é usar eliminação de Gauss para encontrar a solução geral, identificando variáveis básicas (com pivô) e livres.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada l[Amid0r] e aplicamos operações para zerar abaixo do pivô da primeira coluna. Inicialmente
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 &mid&0 1 & 2 & 1 & -3 & 1 & 2 &mid&0 1 & 2 & 0 & -3 & 2 & 1 &mid&0 3 & 6 & 1 & -9 & 4 & 3 &mid&0
Fazendo R2 R2-R1 e R3 R3-R1 e R4 R4-3R1, obtemos
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 &mid&0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 &mid&0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 &mid&0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 &mid&0

Passo 3

Notamos que a última linha é combinação da segunda e da terceira, pois
(0,0,1,0,1,3) = (0,0,1,0,0,2) + (0,0,0,0,1,1)
Logo descartamos a quarta linha e ficamos com três equações-pivô.

Passo 4

Os pivôs estão nas colunas 1, 3 e 5, então x1,x3,x5 são variáveis básicas. As colunas 2, 4 e 6 não têm pivô, logo x2,x4,x6 são variáveis livres. Definimos parâmetros
x2=s, x4=t, x6=u

Passo 5

Fazendo substituição regressiva:
Da terceira linha, ;x5+x6=0, então
x5=-u
Da segunda linha, ;x3+2x6=0, logo
x3=-2u
Da primeira linha, ;x1+2x2-3x4+x5=0, obtemos
x1=-2s+3t -x5=-2s+3t+u

Passo 6

Reunindo tudo, a solução geral é
(x1,x2,x3,x4,x5,x6) = (-2s+3t+u,;s,;-2u,;t,;-u,;u)
Isso pode ser escrito como combinação linear de três vetores livres:
(x1,dots,x6) = s,(-2,1,0,0,0,0) + t,(3,0,0,1,0,0) + u,(1,0,-2,0,-1,1)

Resposta

x2=s, x4=t, x6=u,
x5=-u, x3=-2u, x1=-2s+3t+u,
ou
(x1,x2,x3,x4,x5,x6) = s,(-2,1,0,0,0,0) + t,(3,0,0,1,0,0) + u,(1,0,-2,0,-1,1),
com s,t,uinR.

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