Sejam U, V e W os seguintes subespaços de R^3 U=(x, y, z) ; x=z
& V=(x, y, z) ; x=y=0 & W=(x, y, z) ; x+y+z=0
Encontre uma base para cada um dos subespaços acima.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar bases dos subespaços de R^3
U = (x,y,z)mid x = z, V = (x,y,z)mid x = y = 0, W = (x,y,z)mid x+y+z=0
O conteúdo é espaços vetoriais e bases: vamos parametrizar cada subespaço e extrair vetores geradores independentes.

Passo 2

Para U, a condição é x=z. Logo
(x,y,z) = (t,y,t) = t(1,0,1) + y(0,1,0),
com t,yinR. Os vetores (1,0,1) e (0,1,0) são independentes e geram U.

Passo 3

Para V, impõe-se x=0 e y=0. Logo
(x,y,z) = (0,0,z) = z,(0,0,1),
com zinR. O único gerador independente é (0,0,1).

Passo 4

Para W, a condição x+y+z=0 implica z=-x-y. Assim
(x,y,z) = (x,y,-x-y) = x,(1,0,-1) + y,(0,1,-1),
com x,yinR. Os vetores (1,0,-1) e (0,1,-1) são independentes e geram W.

Resposta

Uma escolha de bases é:
Base de U: (1,0,1),,(0,1,0)
Base de V: (0,0,1)
Base de W: (1,0,-1),,(0,1,-1)

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