Questão 16. Resolver as integrais usando métodos adequados:
integral(3 x^2+6 x+5) arctan (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integrall(3x^2+6x+5r)arctan(x),dx
O conteúdo principal é integração por partes, usando a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du,
e em seguida divisão de polinômios para simplificar o restante da integral.

Passo 2

Escolhemos
u = arctan(x), dv = l(3x^2+6x+5r),dx
Então
du = dx1+x^2, v = integrall(3x^2+6x+5r),dx = x^3+3x^2+5x

Passo 3

Pela integração por partes,
integrall(3x^2+6x+5r)arctan(x),dx = (x^3+3x^2+5x)arctan(x) - integral x^3+3x^2+5x1+x^2,dx

Passo 4

Para simplificar
x^3+3x^2+5xx^2+1, fazemos divisão de polinômios:
x^3+3x^2+5xx^2+1 = x+3 + 4x-3x^2+1

Passo 5

Assim
integral x^3+3x^2+5x1+x^2,dx = integral (x+3),dx + integral 4x-3x^2+1,dx
Calculamos cada parte:
integral (x+3),dx = x^22 + 3x,
integral 4xx^2+1,dx = 2lnl(x^2+1r),
integral -3x^2+1,dx = -3arctan(x)

Passo 6

Substituindo de volta em (3) e distribuindo o sinal menos, obtemos
(x^3+3x^2+5x)arctan(x) - l(tfracx^22+3x + 2ln(x^2+1) - 3arctan(x)r) + C
Agrupando os termos em arctan(x), fica
(x^3+3x^2+5x+3)arctan(x) - x^22 -3x -2lnl(x^2+1r) + C

Resposta

boxed integrall(3x^2+6x+5r)arctan(x),dx = l(x^3+3x^2+5x+3r)arctan(x) - x^22 -3x -2lnl(x^2+1r) + C

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