Questão 18. Determine a derivada da função F(x)=integraltan (x)^3 exp (t) d t1+t^2.

Passo 1

O enunciado define
F(x) = integraltan(x)^3 exp(t)1 + t^2,dt
e pede F'(x).
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo para derivadas de integrais com limites dependentes de x, junto com a Regra da Cadeia.

Passo 2

Seja f(t)=exp(t)1+t^2 e u(x)=tan(x). Pelo Teorema Fundamental e Regra da Cadeia,
ddx!l(integralu(x)^3 f(t),dtr) = -,fl(u(x)r),u'(x)
Aqui u'(x)=sec^2(x), logo
F'(x) = -,expl(tan(x)r)1+tan^2(x);sec^2(x)
Como 1+tan^2(x)=sec^2(x), simplificamos e obtemos
F'(x) = -,expl(tan(x)r)

Resposta

-expl(tan(x)r)

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