QUESTÃO 24. Seja a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-7 \mathrm{x}+6.
a) Calcular as raízes da função.
b) Calcular os pontos extremos
c) Calcular o ponto de inflexão.
d) Construir uma tabela que apresenta os intervalos em que a função é crescente e/ou decrescente, e os intervalos em que a concavidade é voltada para cima e/ou para baixo.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
f(x)=x^3-7x+6,
que a) determinemos as raízes, b) encontremos os pontos extremos (máximos e mínimos locais), c) achemos o ponto de inflexão e d) montemos uma tabela indicando os intervalos em que f é crescente/decrescente e onde é côncava para cima/para baixo. Vamos usar fatoração de polinômio para (a), derivadas primeira e segunda para (b) e (c), e analisar o sinal de f' e f'' para (d).
Passo 2
Para achar as raízes testamos raízes racionais possíveis (divisores de 6). Em x=1 temos
1^3-7\cdot1+6=0,
logo (x-1) é fator. Dividindo x^3-7x+6 por (x-1) obtemos
(d)
Crescente em \;(-\infty,-\sqrt{\tfrac{7}{3}})\cup(\sqrt{\tfrac{7}{3}},\infty), decrescente em \;(-\sqrt{\tfrac{7}{3}},\sqrt{\tfrac{7}{3}}).
Côncava para baixo em \;(-\infty,0), côncava para cima em \;(0,\infty).