QUESTÃO 24. Seja a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-7 \mathrm{x}+6.
a) Calcular as raízes da função.
b) Calcular os pontos extremos
c) Calcular o ponto de inflexão.
d) Construir uma tabela que apresenta os intervalos em que a função é crescente e/ou decrescente, e os intervalos em que a concavidade é voltada para cima e/ou para baixo.

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=x^3-7x+6,
que a) determinemos as raízes, b) encontremos os pontos extremos (máximos e mínimos locais), c) achemos o ponto de inflexão e d) montemos uma tabela indicando os intervalos em que f é crescente/decrescente e onde é côncava para cima/para baixo. Vamos usar fatoração de polinômio para (a), derivadas primeira e segunda para (b) e (c), e analisar o sinal de f' e f'' para (d).

Passo 2

Para achar as raízes testamos raízes racionais possíveis (divisores de 6). Em x=1 temos
1^3-7\cdot1+6=0,
logo (x-1) é fator. Dividindo x^3-7x+6 por (x-1) obtemos
x^2 + x -6 = (x+3)(x-2).
Portanto as raízes são
x=-3,\quad x=1,\quad x=2.

Passo 3

A derivada é
f'(x)=3x^2-7.
Resolvendo f'(x)=0
3x^2-7=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{\tfrac{7}{3}}.
A segunda derivada é
f''(x)=6x.
Em x=-\sqrt{\tfrac{7}{3}}, f''<0 dá máximo local; em x=+\sqrt{\tfrac{7}{3}}, f''>0 dá mínimo local. Os valores de f nesses pontos são
f\Bigl(-\sqrt{\tfrac{7}{3}}\Bigr) =6+\frac{14}{3}\sqrt{\tfrac{7}{3}}, \quad f\Bigl(+\sqrt{\tfrac{7}{3}}\Bigr) =6-\frac{14}{3}\sqrt{\tfrac{7}{3}}.

Passo 4

Ponto de inflexão é onde f''(x)=0, ou seja
x=0,
e seu valor é f(0)=6. Logo o ponto de inflexão é
\bigl(0,6\bigr).

Passo 5

Analisando o sinal de f' e f'':
Crescimento/decrescimento
f'(x)=3x^2-7 \begin{cases} >0 &\text{se }|x|>\sqrt{\tfrac{7}{3}}\quad(\text{crescente}),\\\ <0 &\text{se }|x|<\sqrt{\tfrac{7}{3}}\quad(\text{decrescente}). \end{cases}
Concavidade
f''(x)=6x \begin{cases} <0 &\text{se }x<0\quad(\text{côncavo para baixo}),\\\ >0 &\text{se }x>0\quad(\text{côncavo para cima}). \end{cases}ôô

Resposta

(a) As raízes são x=-3,\;1,\;2.
(b) Máximo local em
x=-\sqrt{\tfrac{7}{3}},\quad f\Bigl(-\sqrt{\tfrac{7}{3}}\Bigr) =6+\tfrac{14}{3}\sqrt{\tfrac{7}{3}},
mínimo local em
x=+\sqrt{\tfrac{7}{3}},\quad f\Bigl(+\sqrt{\tfrac{7}{3}}\Bigr) =6-\tfrac{14}{3}\sqrt{\tfrac{7}{3}}.
(c) Ponto de inflexão em \,(0,6).
(d)
Crescente em \;(-\infty,-\sqrt{\tfrac{7}{3}})\cup(\sqrt{\tfrac{7}{3}},\infty), decrescente em \;(-\sqrt{\tfrac{7}{3}},\sqrt{\tfrac{7}{3}}).
Côncava para baixo em \;(-\infty,0), côncava para cima em \;(0,\infty).

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