Questão 18. Sejam A e B matrizes não singulares que satisfazem a equação \left[\left(A^{2} \cdot A^{-1}\right)^{t}\right]^{-1}=B onde B=\left(\begin{array}{ll}5 & 3 \\\\ 3 & 2\end{array}\right). Determine:
a) \operatorname{Tr}\left(A^{-1}\right).
b) \operatorname{det}\left(A^{2023} \cdot B^{2022}\right).

Passo 1

Vou listar o que o enunciado nos dá e o que ele pede, ponto a ponto.
  • Dado que A e B são matrizes não singulares (ou seja, invertíveis).
  • A equação fornecida é
\left[\left(A^{2}\cdot A^{-1}\right)^{t}\right]^{-1}=B.
  • A matriz B é
B=\begin{pmatrix}5 & 3 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}.
  • O enunciado pede:
    a) calcular \operatorname{Tr}\bigl(A^{-1}\bigr);
    b) calcular \det\bigl(A^{2023}\cdot B^{2022}\bigr).]

Passo 2

Simplificar a expressão interior da equação usando propriedades de potências de uma mesma matriz. Como A é invertível, vale
A^{2}\cdot A^{-1}=A^{2-1}=A.
Explicação breve: A^{2}=A\cdot A, e multiplicando por A^{-1} à direita cancela uma cópia de A, ficando apenas A.

Passo 3

Substituindo na equação original obtemos
\bigl(A^{t}\bigr)^{-1}=B.
Isto veio de \left[\left(A^{2}\cdot A^{-1}\right)^{t}\right]^{-1}=\left(A^{t}\right)^{-1}.

Passo 4

Tomando inversa em ambos os lados da igualdade obtemos
A^{t}=B^{-1}.
Justificativa: como B é inversível, a operação de inversa é válida e reversível.

Passo 5

Aplicando transposição em ambos os lados da igualdade da etapa anterior ficamos com
A=(B^{-1})^{t}.
Usando a identidade (M^{-1})^{t}=(M^{t})^{-1} obtemos
A=(B^{t})^{-1}.
Agora observe que a matriz B é simétrica, pois B^{t}=B (os elementos fora da diagonal são iguais: 3 e 3). Portanto
A=B^{-1}.

Passo 6

Da igualdade A=B^{-1} segue imediatamente que
A^{-1}=B.
Logo a traço pedida no item (a) é simplesmente o traço de B. Calculando:
\operatorname{Tr}\bigl(A^{-1}\bigr)=\operatorname{Tr}(B)=5+2=7.
Breve lembrete didático: o traço de uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} é a+d.

Passo 7

Agora vamos ao item (b). Usaremos propriedades de determinante:
\det(XY)=\det(X)\det(Y),\qquad \det(X^{k})=\bigl(\det(X)\bigr)^{k}.
Aplicando em \det\bigl(A^{2023}\cdot B^{2022}\bigr) obtemos
\det\bigl(A^{2023}\cdot B^{2022}\bigr)=\det(A)^{2023}\cdot\det(B)^{2022}.

Passo 8

Como A=B^{-1}, temos \det(A)=\det(B^{-1})=\dfrac{1}{\det(B)}. Substituindo na expressão do passo anterior:
\det\bigl(A^{2023}\cdot B^{2022}\bigr)=\bigl(\det(B)^{-1}\bigr)^{2023}\cdot\det(B)^{2022}=\det(B)^{-2023+2022}=\det(B)^{-1}.

Passo 9

Calcular \det(B) diretamente (matriz 2\times2):
\det(B)=5\cdot 2 - 3\cdot 3 =10-9=1.
Portanto
\det\bigl(A^{2023}\cdot B^{2022}\bigr)=\det(B)^{-1}=1^{-1}=1.

Resposta

\operatorname{Tr}\bigl(A^{-1}\bigr)=7
\det\bigl(A^{2023}\cdot B^{2022}\bigr)=1

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