Questão 19 (Med. Santos - SP)
Sendo
, onde
é a unidade imaginária, o módulo do número complexo z será:
a)
b)
c)
d)
e)
Sendo
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado fornece a equação
onde
é a unidade imaginária (
). O que o problema pede é: encontrar o módulo do número complexo
, isto é,
. Também observamos que se trata de um exercício de manipulação de números complexos e álgebra simples.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar as frações envolvendo números complexos usando identidades simples. Duas coisas úteis aqui:
ou seja, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado
. E
porque
. Essas manipulações são padrão para “livrar” denominadores complexos.
Passo 3
Agora substituímos essas expressões na equação original. Temos
e
Substituindo na equação:
Ao tirar o parêntese:
Passo 4
Agrupamos os termos com
e isolamos os termos sem
. Somando
em ambos os lados:
Fatorando
do lado esquerdo:
Calculamos o parêntese:
Logo
Isolando
:
Racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
:
Agora desenvolvemos usando
:
Passo 5
Para obter o módulo usamos a definição: se
então
. Aqui
e
. Assim
Portanto o módulo de
é
.
Resposta
b)