Questão 19 (Med. Santos - SP)
Sendo \frac{z}{1+i}-\frac{z-1}{i}=2 i, onde i é a unidade imaginária, o módulo do número complexo z será:
a) 2 \sqrt{6}
b) 3 \sqrt{2}
c) \frac{\sqrt{2}}{3}
d) \frac{\sqrt{3}}{2}
e) \frac{\sqrt{6}}{2}

Passo 1

O enunciado fornece a equação
\frac{z}{1+i}-\frac{z-1}{i}=2i,
onde i é a unidade imaginária ( i^2=-1). O que o problema pede é: encontrar o módulo do número complexo z, isto é, |z|. Também observamos que se trata de um exercício de manipulação de números complexos e álgebra simples.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar as frações envolvendo números complexos usando identidades simples. Duas coisas úteis aqui:
\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{1- i^2}=\frac{1-i}{1-(-1)}=\frac{1-i}{2},
ou seja, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 1-i. E
\frac{1}{i} = i^{-1} = -i,
porque i\cdot(-i)=-i^2=1. Essas manipulações são padrão para “livrar” denominadores complexos.

Passo 3

Agora substituímos essas expressões na equação original. Temos
\frac{z}{1+i} = z\cdot\frac{1-i}{2}=\frac{z(1-i)}{2},
e
\frac{z-1}{i} = (z-1)\cdot\frac{1}{i}=(z-1)(-i)=-i(z-1)=-iz+i.
Substituindo na equação:
\frac{z(1-i)}{2} - \bigl(-iz + i\bigr)=2i.
Ao tirar o parêntese:
\frac{z(1-i)}{2} + iz - i = 2i.

Passo 4

Agrupamos os termos com z e isolamos os termos sem z. Somando i em ambos os lados:
\frac{z(1-i)}{2} + iz = 2i + i = 3i.
Fatorando z do lado esquerdo:
z\left(\frac{1-i}{2} + i\right) = 3i.
Calculamos o parêntese:
\frac{1-i}{2} + i = \frac{1-i + 2i}{2} = \frac{1+i}{2}.
Logo
z\cdot\frac{1+i}{2} = 3i.
Isolando z:
z = \frac{3i\cdot 2}{1+i} = \frac{6i}{1+i}.
Racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 1-i:
z = \frac{6i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{6i(1-i)}{1 - i^2} = \frac{6i(1-i)}{2} = 3i(1-i).
Agora desenvolvemos usando i^2=-1:
z = 3i - 3i^2 = 3i - 3(-1) = 3 + 3i.

Passo 5

Para obter o módulo usamos a definição: se z = x + yi então |z|=\sqrt{x^2+y^2}. Aqui x=3 e y=3. Assim
|z| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.
Portanto o módulo de z é 3\sqrt{2}.

Resposta

b) 3\sqrt{2}

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