Para entender intuitivamente por que deu [0): determinante 0 ocorre quando as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes — isto é, quando uma linha pode ser escrita como combinação linear das outras.
Vamos verificar se existe relação linear entre as linhas. Denotando as linhas por
Substituindo \beta=-2\] na segunda equação:
\[\alpha + 3(-2)=3 \quad\Rightarrow\quad \alpha -6 = 3 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 9.\]
Verificando na primeira equação:
\[2\cdot 9 + 5\cdot(-2)=18-10=8,\]
que bate com \(R_3. Portanto
R_3 = 9R_1 - 2R_2,
ou seja, R_3 é combinação linear de R_1 e R_2. Logo as linhas são linearmente dependentes e isso explica por que \det(A)=0.]
Passo 5
Resumo final e um incentivo: simplificamos os logaritmos usando \log_b(b^k)=k, montamos a matriz numérica, calculamos o determinante passo a passo e ainda mostramos a dependência linear entre as linhas — tudo indicando que o determinante vale zero. Você está indo bem; identificar a dependência linear muitas vezes é o jeito mais rápido de ver que o determinante será zero sem fazer todos os cálculos.