Questão 21. Calcule os seguintes determinantes das matrizes a seguir:
\left|\begin{array}{ccc}2 & \log _{5} 5 & \log _{5} 5 \\\\ 5 & \log _{5} 125 & \log _{5} 25 \\\\ 8 & \log _{3} 27 & \log _{3} 243\end{array}\right|

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o determinante da matriz
\left|\begin{array}{ccc} 2 & \log_{5}5 & \log_{5}5\\[4pt] 5 & \log_{5}125 & \log_{5}25\\[4pt] 8 & \log_{3}27 & \log_{3}243 \end{array}\right|.
Informações dadas (explicitando cada entrada):
  • A primeira linha é \,2,\\ \log_{5}5,\\ \log_{5}5\,.
  • A segunda linha é \,5,\\ \log_{5}125,\\ \log_{5}25\,.
  • A terceira linha é \,8,\\ \log_{3}27,\\ \log_{3}243\,.
O objetivo único: encontrar o valor numérico desse determinante.]

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar os logaritmos usando a propriedade básica
\log_b(b^k)=k,
isto é, o logaritmo na base b de uma potência b^k é k.
Aplicando isso a cada entrada:
  • \log_{5}5 = \log_{5}(5^1)=1.
  • \log_{5}125 = \log_{5}(5^3)=3 porque 125=5^3.
  • \log_{5}25 = \log_{5}(5^2)=2 porque 25=5^2.
  • \log_{3}27 = \log_{3}(3^3)=3 porque 27=3^3.
  • \log_{3}243 = \log_{3}(3^5)=5 porque 243=3^5.
Portanto a matriz fica
\left|\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1\\[4pt] 5 & 3 & 2\\[4pt] 8 & 3 & 5 \end{array}\right|.]

Passo 3

Agora vamos calcular o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 5 & 3 & 2\\[4pt] 8 & 3 & 5 \end{pmatrix}.
Uma fórmula direta para o determinante de uma matriz 3\times3 é, se escrevermos
A=\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
então
\det(A)=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Aqui identificamos
a=2,\\ b=1,\\ c=1,\\ d=5,\\ e=3,\\ f=2,\\ g=8,\\ h=3,\\ i=5.
Calculando cada termo com calma:
  • Primeiro menor: ei-fh = 3\cdot5 - 2\cdot3 = 15-6 = 9.
  • Segundo menor: di-fg = 5\cdot5 - 2\cdot8 = 25-16 = 9.
  • Terceiro menor: dh-eg = 5\cdot3 - 3\cdot8 = 15-24 = -9.
Agora aplicando a fórmula:
\det(A)=2\cdot 9 - 1\cdot 9 + 1\cdot(-9).
Fazendo as operações passo a passo:
2\cdot 9 = 18,\qquad 18 - 9 = 9,\qquad 9 + (-9) = 0.
Logo o determinante é 0.]

Passo 4

Para entender intuitivamente por que deu [0): determinante 0 ocorre quando as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes — isto é, quando uma linha pode ser escrita como combinação linear das outras.
Vamos verificar se existe relação linear entre as linhas. Denotando as linhas por
R_1=(2,1,1),\quad R_2=(5,3,2),\quad R_3=(8,3,5),
procuramos escalares \alpha e \beta tais que
\alpha R_1 + \beta R_2 = R_3.
Isso dá o sistema (coluna por coluna)
\begin{cases} 2\alpha + 5\beta = 8,\\[4pt] 1\alpha + 3\beta = 3,\\[4pt] 1\alpha + 2\beta = 5. \end{cases}
Subtraindo a terceira equação da segunda:
(1\alpha+3\beta)-(1\alpha+2\beta)=3-5 \quad\Rightarrow\quad \beta=-2.
Substituindo \beta=-2\] na segunda equação: \[\alpha + 3(-2)=3 \quad\Rightarrow\quad \alpha -6 = 3 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 9.\] Verificando na primeira equação: \[2\cdot 9 + 5\cdot(-2)=18-10=8,\] que bate com \(R_3. Portanto
R_3 = 9R_1 - 2R_2,
ou seja, R_3 é combinação linear de R_1 e R_2. Logo as linhas são linearmente dependentes e isso explica por que \det(A)=0.]

Passo 5

Resumo final e um incentivo: simplificamos os logaritmos usando \log_b(b^k)=k, montamos a matriz numérica, calculamos o determinante passo a passo e ainda mostramos a dependência linear entre as linhas — tudo indicando que o determinante vale zero. Você está indo bem; identificar a dependência linear muitas vezes é o jeito mais rápido de ver que o determinante será zero sem fazer todos os cálculos.

Resposta

0

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