Questão 18 - De cada 4 cartas enviadas, 1 chega ao destino certo. Se 5 cartas são enviadas independentemente, ache a probabilidade de que no máximo 3 delas cheguem ao destino certo, dado que pelo menos uma chegará. (Dica: observe atentamente o que está sendo pedido na questão. Trata-se de uma probabilidade condicional!).

Passo 1

O enunciado diz que cada carta chega ao destino com probabilidade p=tfrac14 e que são enviadas 5 cartas de forma independente. Precisamos achar
P(no máximo 3 chegammid pelo menos 1 chega), á
ou seja, uma probabilidade condicional baseada na distribuição binomial.

Passo 2

Seja X o número de cartas que chegam corretamente. Temos
Xsim Binomial(n=5,p=tfrac14),
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P(X=k)=binom5kl(tfrac14r)^kl(tfrac34r)^5-k
Queremos
P(X<=3mid X>=1) =P(1<= X<=3)P(X>=1) =P(1<= X<=3)1-P(X=0)

Passo 3

Calcular o numerador P(1<= X<=3):
P(1<= X<=3) =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
Cada termo é
P(X=1)=binom51l(tfrac14r)^1l(tfrac34r)^4 =4051024,
P(X=2)=binom52l(tfrac14r)^2l(tfrac34r)^3 =2701024,
P(X=3)=binom53l(tfrac14r)^3l(tfrac34r)^2 =901024
Somando,
P(1<= X<=3)=405+270+901024=7651024

Passo 4

Calcular o denominador 1-P(X=0):
P(X=0)=l(tfrac34r)^5=2431024,
1-P(X=0)=1-2431024=7811024

Passo 5

Fazendo a divisão para a condicional:
P(X<=3mid X>=1) =tfrac7651024tfrac7811024 =765781

Resposta

765781

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