Questão 17 Se m, n \in \mathbb{N} são tais que m<n, mostre que
m \cdot p<n \cdot p ; \quad \forall p \in \mathbb{N}-\{0\}\

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • m,n\in\mathbb{N} e m<n.
  • p\in\mathbb{N}-\{0\} (ou seja, p\ge1).
O que se pede: mostrar que
m\cdot p < n\cdot p.

Passo 2

Como m<n e m,n são naturais, existe um natural r tal que
n = m + r
e aí necessariamente r\ge1 (porque m<n significa que a diferença n-m é um natural positivo).

Passo 3

Lembrar a definição/intuição de multiplicação em \mathbb{N}: multiplicar por p é somar p vezes. Em particular, para qualquer a\in\mathbb{N},
a\cdot p = \underbrace{a + a + \dots + a}_{p\\ \text{vezes}}.
Usando essa ideia, aplicamos a n = m+r:
n\cdot p = (m+r)\cdot p.

Passo 4

Usando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição (que, visto como somas repetidas, é evidente):
(m+r)\cdot p = m\cdot p + r\cdot p.
Aqui foi usada a noção: somar m+r p vezes é o mesmo que somar m p vezes e somar r p vezes, obtendo a soma das duas quantidades.

Passo 5

Observação sobre r\cdot p: como r\ge1 e p\ge1, a multiplicação de dois naturais positivos é positiva. De modo explícito,
r\cdot p = \underbrace{r + r + \dots + r}_{p\\ \text{vezes}} \ge r \ge 1,
portanto r\cdot p é um natural estritamente positivo.

Passo 6

Agora, a partir de (m+r)\cdot p = m\cdot p + r\cdot p e do fato de que r\cdot p é positivo, segue que
m\cdot p < m\cdot p + r\cdot p = n\cdot p.
Isto conclui a demonstração: multiplicar dois naturais pelo mesmo p\ge1 preserva a desigualdade estrita.

Resposta

m\cdot p < n\cdot p

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