Questão 17 Se
são tais que
, mostre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e . -
(ou seja, ).
O que se pede: mostrar que
Passo 2
Como
e
são naturais, existe um natural
tal que
e aí necessariamente
(porque
significa que a diferença
é um natural positivo).
Passo 3
Lembrar a definição/intuição de multiplicação em
: multiplicar por
é somar
vezes. Em particular, para qualquer
,
Usando essa ideia, aplicamos a
:
Passo 4
Usando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição (que, visto como somas repetidas, é evidente):
Aqui foi usada a noção: somar
vezes é o mesmo que somar
vezes e somar
vezes, obtendo a soma das duas quantidades.
Passo 5
Observação sobre
: como
e
, a multiplicação de dois naturais positivos é positiva. De modo explícito,
portanto
é um natural estritamente positivo.
Passo 6
Agora, a partir de
e do fato de que
é positivo, segue que
Isto conclui a demonstração: multiplicar dois naturais pelo mesmo
preserva a desigualdade estrita.