Questão 20 Se
são números naturais tais que
mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá que
são números naturais e que
. Há duas hipóteses alternativas (ou uma ou outra vale):
-
, ou -
.
O que se pede: mostrar que, em qualquer um desses casos, necessariamente
.
Vou tratar separadamente cada hipótese e explicar por que se pode “cancelar”
tanto na soma quanto no produto, sempre de forma elementar e sem pular passos.
Passo 2
Lembrete (ideia básica usada várias vezes): dizer que
em
significa que existe um número natural
não nulo tal que
. Essa é a definição operacional de desigualdade estrita em naturais:
.
Também usarei a propriedade algébrica simples de fatoração:
Passo 3
Suponha que
. Pela definição de desigualdade, existe
com
tal que
Agora reagrupamos os termos do lado direito (associatividade/commutatividade da adição):
Como a adição em
é cancelável em termos de soma com o mesmo número, podemos “subtrair”
dos dois lados — formalmente, do igual anterior segue que
porque se
então comparando as duas somas (ou simplificando
dos dois lados) obtemos
. Pelo fato de
, concluímos que
, ou seja,
(Um modo alternativo de ver: da igualdade
subtrai-se
em
e obtém-se
.)
Passo 4
O que fizemos foi usar a definição concreta de
em naturais e a propriedade de cancelamento da adição: adicionar o mesmo número
a
e a
preserva a ordem, e portanto, se os resultados com
somado são estritamente distintos, os originais também o são. Não é necessário supor
ou
maiores que
— a argumentação funciona sempre porque trabalhamos com a expressão
obtida ao “remover” o
.
Passo 5
Agora suponha
. Pela definição de desigualdade, existe
com
tal que
Usando a fatoração indicada no Passo 2, a diferença do lado esquerdo é
Portanto a igualdade anterior pode ser escrita como
com
.
Passo 6
Da igualdade
e do fato de
(isto é,
), segue que
não pode ser zero nem negativo, porque se
então
, contradizendo
. Logo necessarily
, ou seja,
portanto
Outra maneira de ver: como
é múltiplo de
, existe
com
tal que
; então
e, cancelando o fator
(pois
), obtém-se
.
Passo 7
Em resumo: tanto somar o mesmo número
quanto multiplicar por um
positivo preservam a ordem estrita; se os resultados com
dão uma desigualdade estrita, os originais também satisfazem
. Boa notícia: essas são propriedades muito úteis na prova e aparecem em muitos exercícios — você já fez uma prova prática aqui!