Questão 20 Se m, n, p são números naturais tais que
m+p<n+p \text { ou } m \cdot p<n \cdot p, \text { com } p \neq 0
mostre que m<n.

Passo 1

O enunciado dá que m,n,p são números naturais e que p\neq 0. Há duas hipóteses alternativas (ou uma ou outra vale):
  • m+p<n+p, ou
  • m\cdot p<n\cdot p.
O que se pede: mostrar que, em qualquer um desses casos, necessariamente m<n.
Vou tratar separadamente cada hipótese e explicar por que se pode “cancelar” p tanto na soma quanto no produto, sempre de forma elementar e sem pular passos.

Passo 2

Lembrete (ideia básica usada várias vezes): dizer que a<b em \mathbb{N} significa que existe um número natural r não nulo tal que b=a+r. Essa é a definição operacional de desigualdade estrita em naturais: a<b \iff \exists r\in\mathbb{N},\\ r\ge 1,\\ b=a+r.
Também usarei a propriedade algébrica simples de fatoração:
n\cdot p-m\cdot p=(n-m)\cdot p.

Passo 3

Suponha que m+p<n+p. Pela definição de desigualdade, existe r\in\mathbb{N} com r\ge 1 tal que
n+p=(m+p)+r.
Agora reagrupamos os termos do lado direito (associatividade/commutatividade da adição):
n+p=m+(p+r).
Como a adição em \mathbb{N} é cancelável em termos de soma com o mesmo número, podemos “subtrair” p dos dois lados — formalmente, do igual anterior segue que
n = m + r,
porque se n+p=m+(p+r) então comparando as duas somas (ou simplificando p dos dois lados) obtemos n=m+r. Pelo fato de r\ge 1, concluímos que n>m, ou seja,
m<n.
(Um modo alternativo de ver: da igualdade n+p=(m+p)+r subtrai-se p em \mathbb{Z} e obtém-se n=m+r.)

Passo 4

O que fizemos foi usar a definição concreta de < em naturais e a propriedade de cancelamento da adição: adicionar o mesmo número p a m e a n preserva a ordem, e portanto, se os resultados com p somado são estritamente distintos, os originais também o são. Não é necessário supor m ou n maiores que p — a argumentação funciona sempre porque trabalhamos com a expressão n=(m+r) obtida ao “remover” o p.

Passo 5

Agora suponha m\cdot p<n\cdot p. Pela definição de desigualdade, existe r\in\mathbb{N} com r\ge 1 tal que
n\cdot p=(m\cdot p)+r.
Usando a fatoração indicada no Passo 2, a diferença do lado esquerdo é
n\cdot p-m\cdot p=(n-m)\cdot p.
Portanto a igualdade anterior pode ser escrita como
(n-m)\cdot p = r,
com r\ge 1.

Passo 6

Da igualdade (n-m)\cdot p = r e do fato de p\neq 0 (isto é, p\ge 1), segue que (n-m) não pode ser zero nem negativo, porque se n-m\le 0 então (n-m)\cdot p \le 0, contradizendo r\ge 1. Logo necessarily n-m\ge 1, ou seja,
n>m,
portanto
m<n.
Outra maneira de ver: como r é múltiplo de p, existe q\in\mathbb{N} com q\ge 1 tal que r=q\cdot p; então (n-m)\cdot p = q\cdot p e, cancelando o fator p (pois p\neq 0), obtém-se n-m=q\ge 1.

Passo 7

Em resumo: tanto somar o mesmo número p quanto multiplicar por um p positivo preservam a ordem estrita; se os resultados com p dão uma desigualdade estrita, os originais também satisfazem m<n. Boa notícia: essas são propriedades muito úteis na prova e aparecem em muitos exercícios — você já fez uma prova prática aqui!

Resposta

m<n

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