Questão 22. A equação do movimeto
com
e
constantes positivas e a condição inicial
, modela o movimento de uma partíchula de massa
, com gravidade
e raio da terra
, na superfície da terra. A única força atuando sobre o corpo é o peso. Determine
de modo que
. (Resp.
)
Passo 1
O enunciado dá a equação do movimento de uma partícula sujeita apenas ao peso variável com a distância
do centro da Terra,
com condição inicial
e posição inicial
. O objetivo é achar
tal que
. O conteúdo principal aqui é resolver uma equação diferencial separável usando a regra da cadeia e depois aplicar condições iniciais e o limite em
.
Passo 2
Usamos a regra da cadeia para reescrever
Substituindo na equação do movimento, obtemos a forma separável
Passo 3
Separamos variáveis e integramos em
e em
:
No membro esquerdo vem
e no direito
logo
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
,
. Em
a fórmula vira
de onde
Substituindo de volta,
Passo 5
Quando
, a partícula sobe ilimitadamente e
, de modo que
. Assim
Para garantir
é preciso ter
.