Questão 22. A equação do movimeto
m d vd t=-m g R^2(x+R)^2,
com m, g e R constantes positivas e a condição inicial v(0)=ve, modela o movimento de uma partíchula de massa m, com gravidade g e raio da terra R, na superfície da terra. A única força atuando sobre o corpo é o peso. Determine ve de modo que lim t infty v(t)=0. (Resp. ve^2=2 g R )

Passo 1

O enunciado dá a equação do movimento de uma partícula sujeita apenas ao peso variável com a distância x do centro da Terra,
mdvdt=-m,g,R^2(x+R)^2,
com condição inicial v(0)=ve e posição inicial x(0)=0. O objetivo é achar ve tal que
limttoinftyv(t)=0. O conteúdo principal aqui é resolver uma equação diferencial separável usando a regra da cadeia e depois aplicar condições iniciais e o limite em t.

Passo 2

Usamos a regra da cadeia para reescrever
dvdt=dvdx,dxdt=;v,dvdx
Substituindo na equação do movimento, obtemos a forma separável
v,dvdx=-g,R^2(x+R)^2

Passo 3

Separamos variáveis e integramos em v e em x:
integral v,dv ;=; -g,R^2integral dx(x+R)^2
No membro esquerdo vem
integral v,dv=v^22,
e no direito
integral dx(x+R)^2 =-1x+R,
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v^22 =-g,R^2l(-1x+Rr)+C =g,R^2x+R+C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial x(0)=0, v(0)=ve. Em t=0 a fórmula vira
ve^22=g,R^2R+C =g,R+C,
de onde
C=ve^22-g,R
Substituindo de volta,
v^22 =g,R^2x+R+ve^22-g,R Longrightarrow v^2 =ve^2-2g,R+2g,R^2x+R

Passo 5

Quando ttoinfty, a partícula sobe ilimitadamente e xtoinfty, de modo que R^2x+Rto0. Assim
limttoinftyv(t)^2 =ve^2-2g,R
Para garantir limttoinftyv(t)=0 é preciso ter ve^2-2g,R=0.

Resposta

ve^2=2g,R

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