• Questão 18: Determine uma base ortonormal do seguinte subespaço:
S=(x, y, x) ; x+y+z=0

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de
S=(x,y,z)inR^3mid x+y+z=0.
Para isso vamos usar o produto interno padrão em R^3 e o processo de Gram–Schmidt.

Passo 2

Escolhemos dois vetores linearmente independentes em S. Por exemplo,
v1 = (1,-1,0),
v2 = (1,1,-2)
De fato, 1+(-1)+0=0 e 1+1+(-2)=0, então ambos estão em S.

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt. Primeiro definimos
u1 = v1,
e normalizamos para obter
e1 = u1|u1|,
onde
|u1| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2
Logo
e1 = l(tfrac1raiz2,, -tfrac1raiz2,,0r)

Passo 4

Agora projetamos v2 sobre e1 e subtraímos:
lang<= v2, e1rang<= = 1cdot1 + 1cdot(-1) + (-2)cdot0raiz2 = 0,
logo
u2 = v2 - 0cdot e1 = v2
Normalizamos u2:
|u2| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz6,
e2 = u2|u2| = l(tfrac1raiz6,,tfrac1raiz6,,-tfrac2raiz6r)

Resposta

l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2,0r)
l(tfrac1raiz6,tfrac1raiz6,-tfrac2raiz6r)

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