Suponha que
um campo de forças contínuo e que sob a ação da força
, uma partícula de massa
desloca-se de
até
sob uma trajetória descrita pela função
.
Prove que o trabalho realizado por
de
até
é
em que
é a energia cinética.
Prove que o trabalho realizado por
Passo 1
O enunciado nos dá um campo de forças contínuo
e uma partícula de massa
que, sob a ação de
, move-se de
até
segundo uma curva
,
. Precisamos provar que o trabalho
é dado por
onde
e
.
Passo 2
Pela definição de trabalho sobre a trajetória
, temos
Passo 3
Pelo Segunda Lei de Newton, a força total
atua de modo que
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Note que
pois derivada interna do produto escalar satisfaz a regra do produto.
Passo 5
Logo
Substituindo em
, fica
Passo 6
Pela Teorema Fundamental do Cálculo,
Multiplicando por
dá