Suponha que F: D subset R^3 R^3 um campo de forças contínuo e que sob a ação da força F, uma partícula de massa m desloca-se de A até B sob uma trajetória descrita pela função r(t), t in[a, b].
Prove que o trabalho realizado por F de r(t0) até r(t1) é
W=12 m v(t1) cdot v(t1)-12 m v(t0) cdot v(t0)=Ec(t1)-Ec(t0)
em que Ec(t)=12 m v(t) cdot v(t) é a energia cinética.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo de forças contínuo vec F:Dsubset R^3to R^3 e uma partícula de massa m que, sob a ação de vec F, move-se de r(t0) até r(t1) segundo uma curva r(t), tin[t0,t1]. Precisamos provar que o trabalho
W=integralr(t0)^r(t1)vec Fcdot dvec r
é dado por
W=12m,vec v(t1)cdotvec v(t1)-12m,vec v(t0)cdotvec v(t0) =Ec(t1)-Ec(t0),
onde vec v(t)=r'(t) e Ec(t)=tfrac12m,vec v(t)cdotvec v(t).

Passo 2

Pela definição de trabalho sobre a trajetória r(t), temos
W=integralr(t0)^r(t1)vec Fcdot dvec r =integralt0^t1vec Fl(r(t)r)cdot r'(t),dt =integralt0^t1vec Fl(r(t)r)cdotvec v(t),dt

Passo 3

Pelo Segunda Lei de Newton, a força total vec F atua de modo que
vec Fl(r(t)r)=m,vec a(t) =m,dvec vdt(t)
Substituindo em W obtemos
W =integralt0^t1m,dvec vdt(t)cdotvec v(t),dt =mintegralt0^t1dvec vdt(t)cdotvec v(t),dt

Passo 4

Note que
ddtl(vec v(t)cdotvec v(t)r) =2,dvec vdt(t)cdotvec v(t),
pois derivada interna do produto escalar satisfaz a regra do produto.

Passo 5

Logo
dvec vdt(t)cdotvec v(t) =tfrac12,ddtl(vec v(t)cdotvec v(t)r)
Substituindo em W, fica
W =mintegralt0^t1tfrac12,ddtl(vec vcdotvec vr),dt = m2integralt0^t1ddtl(vec v(t)cdotvec v(t)r),dt

Passo 6

Pela Teorema Fundamental do Cálculo,
integralt0^t1ddtl(vec v(t)cdotvec v(t)r),dt =l[vec v(t)cdotvec v(t)r]t0^t1 =vec v(t1)cdotvec v(t1)-vec v(t0)cdotvec v(t0)
Multiplicando por tfrac m2
W = m2l(vec v(t1)cdotvec v(t1)-vec v(t0)cdotvec v(t0)r)

Resposta

W =12m,vec v(t1)cdotvec v(t1) -12m,vec v(t0)cdotvec v(t0) =Ec(t1)-Ec(t0)

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