• Questão 20: Dado o sistema
l x+2 y+3 z=1 2 x+4 y+6 z=2 3 x+6 y+9 z=3
Determine o posto da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada. O sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução?

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
x + 2y + 3z = 1, 2x + 4y + 6z = 2, 3x + 6y + 9z = 3,
e pede o posto da matriz dos coeficientes A, o posto da matriz aumentada [Amid b] e o tipo de solução. Vamos usar teoria de posto e compatibilidade de sistemas lineares.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e a matriz aumentada:
A = 1 & 2 & 3 2 & 4 & 6 3 & 6 & 9 , [Amid b] = (ccc|c 1 & 2 & 3 & 1 2 & 4 & 6 & 2 3 & 6 & 9 & 3 )

Passo 3

Para calcular rank(A), observamos que a segunda linha é 2 vezes a primeira e a terceira é 3 vezes a primeira. Logo, só há uma linha linearmente independente. Assim,
rank(A) = 1

Passo 4

Na matriz aumentada, a coluna de constantes também satisfaz a mesma proporção ( 2ª linha é 2times 1ª linha, 3ª é 3times 1ª). Portanto não surge nenhuma dependência nova e
rank(Amid b) = 1

Passo 5

Como rank(A)=rank(Amid b)=1 e o número de incógnitas é 3, temos infinitas soluções (sistema compatível indeterminado).

Resposta

rank da matriz de coeficientes é 1.
rank da matriz aumentada é 1.
O sistema tem infinitas soluções.

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