Questão 18: Uma moeda é jogada seis vezes. Sabendo-se que no primeiro lançamento deu coroa, calcule a probabilidade condicional de que o número de caras nos seis lançamentos sempre supere o de coroas.

Passo 1

Vamos resumir o que temos e o que precisamos. É uma moeda equilibrada lançada seis vezes. Já sabemos que no primeiro lançamento saiu coroa. Chamemos
B = “o primeiro lançamento é coroa”
A = “o número total de caras nos seis lançamentos é maior que o número total de coroas”.
O conteúdo é probabilidade condicional e distribuição binomial.

Passo 2

Pela definição de probabilidade condicional,
P(A mid B) ;=; P(Acap B) P(B)
Como a moeda é equilibrada, P(B)=tfrac12. Para P(Acap B) basta calcular P(A mid B) e multiplicar por P(B).

Passo 3

Dado que saiu coroa no primeiro lançamento, restam cinco lançamentos independentes. Seja X a quantidade de caras nesses cinco lançamentos. Então
Xsim Binl(n=5,p=tfrac12r)
No total de seis lançamentos teremos 1 coroa do primeiro e 5-X coroas nos restantes. Para que o número de caras seja maior que o de coroas precisamos
X>1+(5-X) Long<=ftrightarrow 2X>6 Long<=ftrightarrow X>3 Long<=ftrightarrow X>=4
Logo
P(Amid B) = P(X>=4) =sumk=4^5binom5kl(tfrac12r)^5 =5+132 =632 =316

Passo 4

Finalmente, da fórmula da probabilidade condicional:
P(Acap B) = P(B), P(Amid B) =tfrac12cdottfrac316,
mas ao dividir por P(B)=tfrac12 voltamos a P(Amid B)=tfrac316.

Resposta

316

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