Questão 32 (IBGE/2016)

A presente prova de estatística está sendo aplicada a uma população de candidatos composta por 70 % de indivíduos bem preparados, 20 % de medianos e 10 % de insuficientes. Os mais aptos têm probabilidade de 80 % de acertar qualquer questão, sendo essa probabilidade 25 % menor no caso dos medianos e outros 50 % menor no caso dos insuficientes, com relação aos medianos. Um candidato é escolhido ao acaso. A probabilidade de que ele acerte determinada questão é de:
(A) 0,34
(B) 0,54 ;
(C) 0,66 ;
(D) 0,71 ;
(E) 0,83 .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos três “tipos” de candidato:
  • 70% são bem preparados,
  • 20% são medianos,
  • 10% são insuficientes.
Os bem preparados acertam qualquer questão com 80%. Os medianos têm probabilidade 25% menor que 80%, e os insuficientes têm probabilidade 50% menor que a dos medianos.
Conteúdo: probabilidade condicional e regra da probabilidade total.
O que vamos precisar:
  • Calcular a probabilidade de acerto de cada grupo,
  • Usar a lei da probabilidade total para achar a probabilidade geral de um candidato acertar.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a probabilidade de acerto de cada grupo:
  • Bem preparados (evento B1):
    P(Amid B1)=0,8.
  • Medianos (evento B2): 25% menor que 0,8, ou seja
P(Amid B2) =0,8times(1-0,25) =0,8times0,75 =0,6
  • Insuficientes (evento B3): 50% menor que 0,6, ou seja
P(Amid B3) =0,6times(1-0,5) =0,6times0,5 =0,3

Passo 3

Agora usamos a regra da probabilidade total. Se A é “acertar a questão”, então
P(A) =P(B1),P(Amid B1) +P(B2),P(Amid B2) +P(B3),P(Amid B3)
Substituindo os valores:
P(A) =0,7cdot0,8 +0,2cdot0,6 +0,1cdot0,3

Passo 4

Basta calcular cada termo:
  • 0,7cdot0,8 = 0,56
  • 0,2cdot0,6 = 0,12
  • 0,1cdot0,3 = 0,03
Somando tudo dá
P(A) = 0,56 + 0,12 + 0,03 = 0,71

Resposta

A probabilidade de que o candidato acerte a questão é 0,71.

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