Questão 31 (IBGE/2016)

Sobre os eventos mutuamente exclusivos e/ou independentes de um mesmo espaço amostral S, a partir de um experimento aleatório varepsilon é correto afirmar que:
(A) se dois eventos são mutuamente exclusivos, então também serão independentes;
(B) se dois eventos são independentes, então também serão mutuamente exclusivos;
(C) um evento qualquer não pode ser independente de si mesmo;
(D) se dois eventos são mutuamente exclusivos, então certamente não poderão ser independentes;
(E) se dois eventos são independentes, então é possível que sejam mutuamente exclusivos.

Passo 1

O enunciado trata de eventos em um mesmo espaço amostral S e pede para avaliar quais afirmações sobre eventos mutuamente exclusivos e/ou independentes são verdadeiras. Vamos usar as definições de eventos mutuamente exclusivos e de independência para checar cada alternativa.

Passo 2

Definições básicas:
– Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se não podem ocorrer juntos, ou seja,
P(Acap B)=0
– Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro, isto é,
P(Acap B)=P(A),P(B)

Passo 3

Analisando (A): “se dois eventos são mutuamente exclusivos, então também serão independentes.”
Para eventos exclusivos temos P(Acap B)=0. Se fossem sempre independentes, deveríamos ter
0=P(A),P(B)
Isso só ocorre quando P(A)=0 ou P(B)=0. Em geral, se P(A)=P(B)=tfrac12, por exemplo, exclusivos não satisfazem
0 neq tfrac12cdottfrac12=tfrac14
Logo (A) é falsa.

Passo 4

Analisando (B): “se dois eventos são independentes, então também serão mutuamente exclusivos.”
Independência dá
P(Acap B)=P(A),P(B),
que costuma ser positivo quando P(A)>0 e P(B)>0. Logo em geral P(Acap B)neq0, contradizendo a exclusividade. Então (B) é falsa.

Passo 5

Analisando (C): “um evento qualquer não pode ser independente de si mesmo.”
Tomando A consigo mesmo, a condição seria
P(Acap A)=P(A)=P(A)^2,
isto é, P(A)(1-P(A))=0, logo só vale para P(A)=0 ou P(A)=1. Existem, portanto, eventos (triviais) que são independentes de si mesmos. Assim, (C) é falsa.

Passo 6

Analisando (D): “se dois eventos são mutuamente exclusivos, então certamente não poderão ser independentes.”
Como visto no passo 3, se um dos eventos tem probabilidade zero, eles são mutuamente exclusivos e ainda assim satisfazem
P(Acap B)=0 = P(A),P(B)
Logo há casos em que exclusividade e independência ocorrem juntas, tornando (D) falsa.

Passo 7

Analisando (E): “se dois eventos são independentes, então é possível que sejam mutuamente exclusivos.”
Isso acontece exatamente no caso em que um deles tem probabilidade zero, pois então
P(Acap B)=0 e P(A),P(B)=0,
satisfazendo simultaneamente exclusividade e independência. Portanto, (E) é verdadeira.

Resposta

(E)

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