Questão 31 (IBGE/2016)
Sobre os eventos mutuamente exclusivos e/ou independentes de um mesmo espaço amostral
, a partir de um experimento aleatório
é correto afirmar que:
(A) se dois eventos são mutuamente exclusivos, então também serão independentes;
(B) se dois eventos são independentes, então também serão mutuamente exclusivos;
(C) um evento qualquer não pode ser independente de si mesmo;
(D) se dois eventos são mutuamente exclusivos, então certamente não poderão ser independentes;
(E) se dois eventos são independentes, então é possível que sejam mutuamente exclusivos.
(A) se dois eventos são mutuamente exclusivos, então também serão independentes;
(B) se dois eventos são independentes, então também serão mutuamente exclusivos;
(C) um evento qualquer não pode ser independente de si mesmo;
(D) se dois eventos são mutuamente exclusivos, então certamente não poderão ser independentes;
(E) se dois eventos são independentes, então é possível que sejam mutuamente exclusivos.
Passo 1
O enunciado trata de eventos em um mesmo espaço amostral
e pede para avaliar quais afirmações sobre eventos mutuamente exclusivos e/ou independentes são verdadeiras. Vamos usar as definições de eventos mutuamente exclusivos e de independência para checar cada alternativa.
Passo 2
Definições básicas:
– Dois eventos e
são mutuamente exclusivos se não podem ocorrer juntos, ou seja,
– Dois eventos
– Dois eventos
e
são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro, isto é,
Passo 3
Analisando (A): “se dois eventos são mutuamente exclusivos, então também serão independentes.”
Para eventos exclusivos temos . Se fossem sempre independentes, deveríamos ter
Para eventos exclusivos temos
Isso só ocorre quando
ou
. Em geral, se
, por exemplo, exclusivos não satisfazem
Logo (A) é falsa.
Passo 4
Analisando (B): “se dois eventos são independentes, então também serão mutuamente exclusivos.”
Independência dá
Independência dá
que costuma ser positivo quando
e
. Logo em geral
, contradizendo a exclusividade. Então (B) é falsa.
Passo 5
Analisando (C): “um evento qualquer não pode ser independente de si mesmo.”
Tomando consigo mesmo, a condição seria
Tomando
isto é,
, logo só vale para
ou
. Existem, portanto, eventos (triviais) que são independentes de si mesmos. Assim, (C) é falsa.
Passo 6
Analisando (D): “se dois eventos são mutuamente exclusivos, então certamente não poderão ser independentes.”
Como visto no passo 3, se um dos eventos tem probabilidade zero, eles são mutuamente exclusivos e ainda assim satisfazem
Como visto no passo 3, se um dos eventos tem probabilidade zero, eles são mutuamente exclusivos e ainda assim satisfazem
Logo há casos em que exclusividade e independência ocorrem juntas, tornando (D) falsa.
Passo 7
Analisando (E): “se dois eventos são independentes, então é possível que sejam mutuamente exclusivos.”
Isso acontece exatamente no caso em que um deles tem probabilidade zero, pois então
Isso acontece exatamente no caso em que um deles tem probabilidade zero, pois então
satisfazendo simultaneamente exclusividade e independência. Portanto, (E) é verdadeira.
Resposta
(E)