Questão 21. Calcule os seguintes determinantes das matrizes a seguir: \left|\begin{array}{llllll}x & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ a & y & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ l & p & z & 0 & 0 & 0 \\\ m & n & p & x & 0 & 0 \\\ b & c & d & e & y & 0 \\\ a & b & c & d & e & z\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado pede: calcular o determinante da matriz 6\times6
\begin{vmatrix} x & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ a & y & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ l & p & z & 0 & 0 & 0 \\\ m & n & p & x & 0 & 0 \\\ b & c & d & e & y & 0 \\\ a & b & c & d & e & z \end{vmatrix}.
Informações dadas (peguei esses elementos diretamente do enunciado):
Primeira linha: \,x,0,0,0,0,0.
Segunda linha: \,a,y,0,0,0,0.
Terceira linha: \,l,p,z,0,0,0.
Quarta linha: \,m,n,p,x,0,0.
Quinta linha: \,b,c,d,e,y,0.
Sexta linha: \,a,b,c,d,e,z.
Pergunta: calcular o valor numérico simbólico do determinante em termos de x,y,z (e possivelmente dos demais símbolos).
Passo 2
Observar a estrutura em blocos da matriz: dividir as colunas e linhas em dois blocos de tamanho 3:
Bloco superior-esquerdo A (linhas 1–3, colunas 1–3):
A=\begin{pmatrix} x & 0 & 0\\[4pt] a & y & 0\\[4pt] l & p & z \end{pmatrix}.
Bloco superior-direito é a matriz 0 (linhas 1–3, colunas 4–6), todos zeros.
Bloco inferior-esquerdo C (linhas 4–6, colunas 1–3):
C=\begin{pmatrix} m & n & p\\[4pt] b & c & d\\[4pt] a & b & c \end{pmatrix}.
Bloco inferior-direito D (linhas 4–6, colunas 4–6):
D=\begin{pmatrix} x & 0 & 0\\[4pt] e & y & 0\\[4pt] d & e & z \end{pmatrix}.
A matriz inteira tem a forma de bloco
\begin{pmatrix} A & 0 \\[2pt] C & D \end{pmatrix},
ou seja, é uma matriz em “bloco triangular inferior” porque o bloco superior-direito é a matriz zero.]
Passo 3
Usar a propriedade dos determinantes de matrizes em bloco triangular: se uma matriz 6\times6 tem a forma
\begin{pmatrix} A & 0 \\[2pt] C & D \end{pmatrix},
onde A e D são quadradas (aqui 3\times3), então vale
\det\begin{pmatrix} A & 0 \\[2pt] C & D \end{pmatrix} = \det(A)\,\det(D).
Explicação intuitiva simples (didática): o determinante é soma sobre permutações que escolhem uma entrada em cada linha e coluna. Como o bloco superior-direito é todo zero, nenhuma permutação pode relacionar as primeiras 3 linhas com as últimas 3 colunas — as únicas permutações não-nulas são as que escolhem colunas 1–3 para linhas 1–3 e colunas 4–6 para linhas 4–6. Essas escolhas separam o produto em um produto do determinante de A pelo determinante de D. (Isto é a razão por que o determinante “fatora” em blocos quando o bloco superior-direito é zero.)]
Passo 4
Calcular \det(A) e \det(D). Note que A e D são matrizes triangulares inferiores (todos os elementos acima da diagonal são zero). Para uma matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Vou justificar isso de forma curta por indução:
Para uma matriz 1\times1 é trivial.
Suponha verdadeiro para (n-1)\times(n-1). Numa matriz triangular inferior n\times n, a primeira linha tem zeros em todas as colunas, exceto possivelmente a coluna 1, então ao expandir o determinante pela primeira linha só resta o elemento a_{11} multiplicando o determinante da submatriz (n-1)\times(n-1) que é triangular inferior. Pelo passo de indução isso dá a_{11} vezes o produto dos outros elementos da diagonal. Logo o determinante é o produto de todos os elementos da diagonal.
Aplicando isso a A e D:
\det(A)=x\cdot y\cdot z, \qquad \det(D)=x\cdot y\cdot z.
Passo 5
Combinar os resultados usando a propriedade de bloco triangular do Passo 3:
\det\begin{pmatrix} A & 0 \\[2pt] C & D \end{pmatrix} = \det(A)\det(D) = (x y z)\,(x y z) = x^{2}y^{2}z^{2}.]