Questão 19. (Definição de Limite)
Demonstre cada afirmação usando a definição por epsilon e de<a.
lim x -2(-2 x+1)=5

Passo 1

E aí, beleza? O enunciado pede pra gente provar, usando a definição formal de limite (essa do varepsilon e de<a), que
limxto -2(-2x+1)=5
Isso faz parte de limites em cálculo. Pra resolver, vamos precisar lembrar da definição: “para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, se 0<|x-(-2)|<de<a, então |f(x)-L|<varepsilon”. Aqui a=-2, L=5 e f(x)=-2x+1.

Passo 2

Vamos aplicar a definição: queremos
  1. pegar um varepsilon>0 qualquer,
  2. achar um de<a>0 de forma que, sempre que
0<|x+2|<de<a
a gente garanta
|(-2x+1)-5|<varepsilon
O esquema é escrever |f(x)-L| e simplificar pra ver de que depende.

Passo 3

Calculando a diferença:
|(-2x+1)-5| = |-2x -4|
Usando propriedade do valor absoluto ( |k,m|=|k|;|m| e |-2|=2), dá
|-2x -4| = |-2(x+2)| = 2,|x+2|

Passo 4

Então a condição
|(-2x+1)-5|<varepsilon
fica
2,|x+2|<varepsilon Longrightarrow |x+2|<varepsilon2
Pra isso acontecer sempre que 0<|x+2|<de<a, basta escolher
de<a = varepsilon2

Resposta

Basta tomar de<a=varepsilon2. Com isso, se 0<|x+2|<de<a então
|(-2x+1)-5|=2|x+2|<2de<a=varepsilon,
o que, pela definição formal, prova que
limxto -2(-2x+1)=5
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