Sem resolver o problema, determine o intervalo dado pelo Teorema de Existência e Unicidade no qual a solução do PVI
(ln x) y^prime+y=cot x, y(2)=3
está definida.

Passo 1

O enunciado dá o PVI
(ln x),y' + y = cot x, y(2)=3,
que é uma EDO linear de primeira ordem. Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, precisamos escrever em forma normal
y' = f(x,y)
e verificar onde f e partial f/partial y são contínuas num intervalo que contenha x0=2.

Passo 2

Isolando y', temos
y' = cot x - yln x
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f(x,y) = cot x - yln x, partial fpartial y(x,y) = -1ln x

Passo 3

Precisamos que ln xneq0 e que cot x seja contínua. As descontinuidades vêm de
  1. ln x=0 em x=1.
  2. cot x não é definida quando sin x=0, ou seja, em x=kpi, kinZ.

Passo 4

Na reta positiva, os pontos problemáticos mais próximos de x0=2 são x=1 (onde ln x some) e x=piapprox3,14 (onde sin x=0). Portanto o maior intervalo aberto contendo 2 e livre de singularidades é
(1,pi)

Resposta

(1,pi)

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