Sejam f(x)=2-3 x, x in[-1,5) e g(x)=5-x-x^2, x in(1,10). Encontrar
g circ f

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=2-3x com xin[-1,5)
e
g(x)=5-x-x^2 com xin(1,10).
Queremos a composição ,gcirc f, isto é, calcular g(f(x)) e determinar o domínio de validade.

Passo 2

Por definição de composição,
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)
e como g(u)=5-u-u^2, basta substituir u=f(x). Logo,
(gcirc f)(x)=5 - f(x) - l(f(x)r)^2

Passo 3

Substituindo f(x)=2-3x e simplificando:
(gcirc f)(x) =5 - (2-3x) - (2-3x)^2 =5-2+3x -l(4 -12x +9x^2r) =3+3x -4 +12x -9x^2 =-9x^2+15x -1

Passo 4

Agora o domínio. Para (gcirc f)(x) existir precisamos de
f(x)in(1,10)
Resolvendo as duas desigualdades:
  1. f(x)>1
2-3x>1 ;Longrightarrow;-3x>-1 ;Longrightarrow;x<tfrac13
  1. f(x)<10
2-3x<10 ;Longrightarrow;-3x<8 ;Longrightarrow;x>-tfrac83
Portanto, a condição para f(x) entrar no domínio de g é
-tfrac83<x<tfrac13

Passo 5

Como originalmente x também deve pertencer a [-1,5), intersectamos:
[-1,5),cap,l(-tfrac83,tfrac13r) =[-1,tfrac13)
Assim, o domínio da composição é [-1,tfrac13).

Resposta

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