• Questão 19. Determine o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
    y=cos (x2);

Passo 1

O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função
y = cos!l(tfracx2r)
O conteúdo envolve funções trigonométricas e transformações de gráfico (esticamento horizontal).

Passo 2

Para determinar o domínio, note que a função cos(t) está definida para todo tinR. Como aqui t = tfracx2 também varre todo R quando x varia em R, concluímos que
domínio = R í

Passo 3

A amplitude da função é igual a 1 (mesmo que cos padrão), e o período T sofre esticamento horizontal de fator 2, pois a variável aparece dividida por 2. Em geral, se y=cos(kx) então
T = 2pik
Aqui k=tfrac12, logo
T = 2pitfrac12 = 4pi

Passo 4

Vamos marcar os pontos principais para um período, tomando x de 0 a 4pi:
x=0 &implies y=cos(0)=1, x=pi &implies y=cos!l(tfracpi2r)=0, x=2pi &implies y=cos(pi)=-1, x=3pi &implies y=cos!l(tfrac3pi2r)=0, x=4pi &implies y=cos(2pi)=1

Passo 5

O esboço do gráfico é igual ao da função cos x, mas “esticado” na direção x de modo que cada ciclo completo dura 4pi em vez de 2pi. Assim, em cada intervalo [4kpi,;4(k+1)pi] temos um “sobe-desce” padrão de cosseno:
— máximo y=1 em x=4kpi,
— cruza y=0 em x=(2k+1)pi,
— mínimo y=-1 em x=2pi+4kpi,
— retorna a y=1 em x=4(k+1)pi.

Resposta

Domínio:
Gráfico: função de amplitude e período , igual ao cosseno padrão esticado horizontalmente por fator . Veja o esboço de um ciclo em :

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