• Questão 19. Determine o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
    g(x)=sen(1x);

Passo 1

O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função
g(x)=sinl(tfrac1xr)
O conteúdo aqui envolve encontrar onde a função está bem definida (domínio) e compreender seu comportamento nos intervalos onde é contínua, especialmente a oscilação crescente quando xto0.

Passo 2

Para achar o domínio, observamos que a expressão tfrac1x exige xneq0. Não há nenhuma outra restrição (o seno está definido para todo real).
Logo o domínio é
D=xinRmid xneq0 = (-infty,0)cup(0,infty)

Passo 3

Em cada um dos intervalos (-infty,0) e (0,infty), a função sin(1/x) é composta de funções contínuas e, portanto, é contínua.
  • Quando xtopminfty, temos tfrac1xto0 e então sinl(tfrac1xr)approxtfrac1xto0 Ou seja, o gráfico decai suavemente até o eixo x.
  • Quando xto0, a variável interna 1/x dispara para +infty (se xto0^+) ou para -infty (se xto0^-), fazendo sin(1/x) oscilar infinitamente entre -1 e 1, sem limite.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, note:
  1. Há duas “ramificações” contínuas, uma para x<0 e outra para x>0.
  2. Ao longe (|x| grande), o gráfico aproxima-se do eixo x.
  3. Próximo de zero, as oscilações têm amplitude fixa (entre -1 e 1) mas frequência crescente, comprimindo-se à medida que xto0.
  4. Podemos desenhar as curvas de envelope y=1 e y=-1 e dentro delas um número cada vez maior de ondas senoidais conforme nos aproximamos de x=0.

Resposta

Domínio:
(-infty,0)cup(0,infty)
Gráfico: função contínua em cada ramo, tendendo a zero quando xtopminfty, com oscilações infinitas de amplitude [-1,1] comprimindo-se ao redor de x=0.

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