- Questão 19. Determine o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função
O conteúdo aqui envolve encontrar onde a função está bem definida (domínio) e compreender seu comportamento nos intervalos onde é contínua, especialmente a oscilação crescente quando
.
Passo 2
Para achar o domínio, observamos que a expressão
exige
. Não há nenhuma outra restrição (o seno está definido para todo real).
Logo o domínio é
Logo o domínio é
Passo 3
Em cada um dos intervalos
e
, a função
é composta de funções contínuas e, portanto, é contínua.
- Quando
, temos e então Ou seja, o gráfico decai suavemente até o eixo . - Quando
, a variável interna dispara para (se ) ou para (se ), fazendo oscilar infinitamente entre e , sem limite.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, note:
- Há duas “ramificações” contínuas, uma para
e outra para . - Ao longe (|x| grande), o gráfico aproxima-se do eixo
. - Próximo de zero, as oscilações têm amplitude fixa (entre
e ) mas frequência crescente, comprimindo-se à medida que . - Podemos desenhar as curvas de envelope
e e dentro delas um número cada vez maior de ondas senoidais conforme nos aproximamos de .
Resposta
Domínio:
Gráfico: função contínua em cada ramo, tendendo a zero quando
, com oscilações infinitas de amplitude
comprimindo-se ao redor de
.