Questão 19. Determine o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado define a função
g(x)= x^2-2x, & x>=0, 1 - x, & x<0,
e pede (i) o domínio de g e (ii) um esboço do gráfico. Vamos usar conceitos de estudo de funções elementares: domínio, análise de ramo linear e de ramo quadrático, valores em fronteira e continuidade.
Passo 2
Para determinar o domínio, basta notar que ambas as expressões x^2-2x e 1-x estão definidas para todo xinR. A divisão em casos só impõe restrição de onde cada fórmula vale, mas não exclui nenhum x.
Portanto o domínio é
R
Passo 3
Análise do ramo x<0:
A fórmula é
g(x)=1-x,
que é uma reta de coeficiente angular -1 e intercepto em y=1. Em particular, ao nos aproximarmos de xto0^-, g(x)to1. No ponto x=0 este ramo não vale, então teremos um círculo aberto em (0,1). Para xto-infty, g(x)to+infty subindo indefinidamente.
Passo 4
Análise do ramo x>=0:
A fórmula é
g(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1,
que é uma parábola voltada para cima com vértice em (1,-1). Em x=0 este ramo vale g(0)=0, dando um ponto cheio em (0,0). Para xto+infty, g(x)to+infty.
Passo 5
Continuidade em x=0:
limxto0^-g(x)=1, g(0)=0, limxto0^+g(x)=0
Logo há descontinuidade de salto: o gráfico “salta” do ponto aberto (0,1) até o ponto cheio (0,0).
Passo 6
Esboço do gráfico:
– Para x<0, uma reta decrescente de inclinação -1 que passa por (0,1) (círculo aberto).
– Para x>=0, uma parábola com vértice em (1,-1) e que em (0,0) tem ponto cheio.
– Não há outro salto além desse em x=0.
Resposta
Domínio: R.
Gráfico: reta y=1-x para x<0 com círculo aberto em (0,1), e parábola y=x^2-2x para x>=0 com ponto cheio em (0,0) e vértice em (1,-1).