• Questão 21. Determine o valor de x tal que f(f(x))=1, para f(x)=1x-1.

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de x tais que
f(f(x)) = 1
sendo
f(x) = 1x-1
O conteúdo envolve composição de funções e resolução de equações racionais. Vamos primeiro calcular f(f(x)) e depois resolver a equação imposta.

Passo 2

Calculemos
f(f(x)) = 1,f(x)-1, = 1 1x-1 - 1
No denominador fazemos o mesmo denominador comum:
1x-1 - 1 = 1 - (x-1)x-1 = 2 - x,x-1,
Portanto,
f(f(x)) = 12 - xx-1 = x-12 - x

Passo 3

Agora impomos a condição f(f(x))=1:
x-12 - x = 1
Multiplicando ambos os lados por 2 - x, que não pode ser zero,
x - 1 = 2 - x Longrightarrow 2x = 3 Longrightarrow x = 32

Passo 4

Verifiquemos as restrições de domínio:
  1. Em f(x)=tfrac1x-1, exige-se xneq 1.
  2. Na composição, também não pode ocorrer f(x)=1, isto é tfrac1x-1neq 1, o que evita x=2.
    O valor x=tfrac32 não coincide nem com 1 nem com 2, logo é válido.

Resposta

x = 32

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