• Questão 19. Determine o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
    y=tg(-x);

Passo 1

O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função
y = tan(-x)
O conteúdo é trigonometria, mais especificamente propriedades da função tangente: seu domínio, assíntotas verticais e simetrias. Vamos usar (a) o fato de tan(theta) ser indefinida quando cos(theta)=0 e (b) a identidade de paridade tan(-x)=-tan(x).

Passo 2

Para encontrar o domínio, lembramos que tan(u) não existe quando cos(u)=0. Aqui u=-x, mas cos(-x)=cos(x). Então exigimos
cos(x)neq0 Longrightarrow xneq pi2+kpi, kinZ
Portanto o domínio é
,xinRmid xneq(2k+1)tfracpi2,;kinZ

Passo 3

Aplicamos a identidade ímpar da tangente:
tan(-x) = -tan(x)
Isto significa que o gráfico de y=tan(-x) é igual ao gráfico de y=-tan(x).

Passo 4

Para esboçar y=-tan(x) note:
  1. A tangente tem período pi, então nosso gráfico se repete a cada pi.
  2. Há assíntotas verticais em x=(2k+1)pi2.
  3. No intervalo l(-tfracpi2,tfracpi2r), tan(x) cresce de -infty a +infty, mas -tan(x) decresce de +infty a -infty.
  4. Como -tan(x) é a reflexão de tan(x) em relação ao eixo x, seu ponto central continua sendo a origem (0,0).
Esboço num período (entre as assíntotas em -pi2 e pi2):
  • Em xto -tfracpi2^+, yto +infty.
  • Em x=0, y=-tan(0)=0.
  • Em xto +tfracpi2^-, yto -infty.
Em seguida, o padrão se repete deslocado de pi em pi.

Resposta

Domínio:
,xinRmid xneq(2k+1)tfracpi2,;kinZ
Gráfico: curva periódica de período pi, com assíntotas verticais em x=(2k+1)tfracpi2, passando por (0,0) e decrescendo de +infty a -infty em cada intervalo l(-tfracpi2+kpi,tfracpi2+kpir).

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