Usando triângulos, demostre que cos (pi4)=raiz22.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que cosl(tfracpi4r)=tfracraiz22 usando triângulos. O conteúdo aqui é definir um triângulo retângulo isósceles, aplicar o Teorema de Pitágoras para achar a hipotenusa e depois usar a definição de cosseno como razão entre cateto adjacente e hipotenusa.

Passo 2

Construa um triângulo retângulo nos quais os dois catetos tenham o mesmo comprimento, digamos 1. Como é retângulo, um ângulo vale tfracpi2, e os outros dois são iguais. Pelo fato de as três somarem pi, cada agudo vale
pi - tfracpi22 = pi4
Portanto esses ângulos agudos são exatamente tfracpi4.

Passo 3

Use o Teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa c. Se os catetos medem 1 e 1, então
c = raiz1^2 + 1^2 = raiz2

Passo 4

Pela definição de cosseno num triângulo retângulo, para o ângulo tfracpi4 temos
cosl(tfracpi4r) = cateto adjacentehipotenusa = 1raiz2

Passo 5

Racionalize o denominador:
1raiz2 = raiz2raiz2,raiz2 = raiz22

Resposta

cosl(tfracpi4r) = raiz22

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