- Questão 19. Determine o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
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Passo 1
Estamos lidando com a função racional f(x)=1+1/x. O conteúdo aqui é domínio e esboço de gráfico de funções racionais; para resolver precisamos (a) achar o domínio excluindo zeros do denominador, (b) identificar interceptos e assíntotas, © analisar o comportamento em cada intervalo e (d) esboçar o gráfico usando assíntotas como guia.
Passo 2
O denominador é x, que não pode ser zero. Logo, o domínio é
Passo 3
Para achar interceptos, analisamos:
– Intercepto em y: x=0 não está no domínio, então não há intercepto em y.
– Intercepto em x: resolvemos f(x)=0:
– Intercepto em y: x=0 não está no domínio, então não há intercepto em y.
– Intercepto em x: resolvemos f(x)=0:
Então há intercepto em x no ponto (-1,0).
Passo 4
As assíntotas da função são:
– Vertical: x=0 (onde o denominador zera).
– Horizontal: observe
– Vertical: x=0 (onde o denominador zera).
– Horizontal: observe
logo y=1.
Passo 5
Agora analisamos o sinal e o formato em cada ramo:
– Para x>0: 1/x>0 ⇒ f(x)>1. Quando x→0⁺, f→+∞. Quando x→+∞, f→1⁺. Esse ramo fica acima de y=1, no 1º quadrante.
– Para x<0: 1/x<0 ⇒ f(x)<1. Quando x→0⁻, f→-∞. Quando x→-∞, f→1⁻. Nesse ramo, a curva passa por (-1,0) e fica abaixo de y=1, no 3º quadrante.
– Para x>0: 1/x>0 ⇒ f(x)>1. Quando x→0⁺, f→+∞. Quando x→+∞, f→1⁺. Esse ramo fica acima de y=1, no 1º quadrante.
– Para x<0: 1/x<0 ⇒ f(x)<1. Quando x→0⁻, f→-∞. Quando x→-∞, f→1⁻. Nesse ramo, a curva passa por (-1,0) e fica abaixo de y=1, no 3º quadrante.
Passo 6
Esboço do gráfico:
– Trace as retas x=0 (vertical) e y=1 (horizontal) como assíntotas pontilhadas.
– No lado direito de x=0, desenhe uma curva que vem de +∞ ao se aproximar de x=0, decai suavemente e se aproxima de y=1 quando x→+∞.
– No lado esquerdo de x=0, desenhe uma curva que vem de 1⁻ ao se afastar para x→-∞, cruza em (-1,0), e desce para -∞ ao se aproximar de x=0.
– Trace as retas x=0 (vertical) e y=1 (horizontal) como assíntotas pontilhadas.
– No lado direito de x=0, desenhe uma curva que vem de +∞ ao se aproximar de x=0, decai suavemente e se aproxima de y=1 quando x→+∞.
– No lado esquerdo de x=0, desenhe uma curva que vem de 1⁻ ao se afastar para x→-∞, cruza em (-1,0), e desce para -∞ ao se aproximar de x=0.
Passo 7
Pronto! Temos domínio, interceptos, assíntotas e o esboço da hipérbole deslocada. A ideia é desenhar dois ramos assimétricos em torno das retas x=0 e y=1 como assíntotas.
Resposta
Domínio:
. Gráfico: hipérbole com assíntotas x=0 (vertical) e y=1 (horizontal), ramo em x>0 acima de y=1 e ramo em x<0 abaixo de y=1, cruzando o eixo x em (-1,0).