Questão 19: Deve-se construir um depósito com tampa em forma de um cilindro circular reto e com área de superfície A fixa. Determine as dimensões que maximizem o volume
Passo 1
Neste exercício, temos um cilindro reto com tampa (isto é, superfície lateral mais tampa e base) e uma área superficial fixa A. Queremos maximizar o volume desse cilindro em função das suas dimensões (raio r e altura h). O conteúdo é otimização de função de uma variável com restrição, usando derivadas.
Passo 2
Escrevemos as fórmulas da área superficial e do volume de um cilindro fechado. A área superficial é dada por
e o volume é
Passo 3
Como a área A é fixa, usamos a restrição para isolar a altura h. De
segue
Passo 4
Substituímos essa expressão de h na fórmula do volume para obter V como função de r apenas. Assim,
Passo 5
Para encontrar o valor de r que maximiza V, calculamos a derivada primeira e igualamos a zero:
Passo 6
Verificamos que esse ponto é de máximo observando a derivada segunda:
para r>0, confirmando que obtivemos um máximo.
Passo 7
Finalmente, calculamos h ao substituir r na expressão da restrição. Como A = 6\pi r^2, temos
Logo h = 2\sqrt{\frac{A}{6\pi}}.
Resposta
O raio que maximiza o volume é
e a altura correspondente é
.