Questão 19: Deve-se construir um depósito com tampa em forma de um cilindro circular reto e com área de superfície A fixa. Determine as dimensões que maximizem o volume

Passo 1

Neste exercício, temos um cilindro reto com tampa (isto é, superfície lateral mais tampa e base) e uma área superficial fixa A. Queremos maximizar o volume desse cilindro em função das suas dimensões (raio r e altura h). O conteúdo é otimização de função de uma variável com restrição, usando derivadas.

Passo 2

Escrevemos as fórmulas da área superficial e do volume de um cilindro fechado. A área superficial é dada por
A = 2pi r^2 + 2pi r h
e o volume é
V = pi r^2 h.

Passo 3

Como a área A é fixa, usamos a restrição para isolar a altura h. De
A = 2pi r^2 + 2pi r h
segue
h = A - 2pi r^22pi r.

Passo 4

Substituímos essa expressão de h na fórmula do volume para obter V como função de r apenas. Assim,
V(r) = pi r^2(A - 2pi r^22pi r) = A r2 - pi r^3

Passo 5

Para encontrar o valor de r que maximiza V, calculamos a derivada primeira e igualamos a zero:
dVdr = A2 - 3pi r^2 = 0 implies r^2 = A6pi implies r = raizA6pi

Passo 6

Verificamos que esse ponto é de máximo observando a derivada segunda:
d^2Vdr^2 = -6pi r < 0
para r>0, confirmando que obtivemos um máximo.

Passo 7

Finalmente, calculamos h ao substituir r na expressão da restrição. Como A = 6\pi r^2, temos
h = A - 2pi r^22pi r = 6pi r^2 - 2pi r^22pi r = 2r
Logo h = 2\sqrt{\frac{A}{6\pi}}.

Resposta

O raio que maximiza o volume é r = raizA6pi e a altura correspondente é h = 2raizA6pi.

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